泛函分析与小波变换

《泛函分析与小波变换》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、南京理工大学作者:報係）:专业:题目:**:******光学工程泛函分析与小波变换任课老师：焦蕾2012年11月评分:1泛函分析简介泛函分析(FunctionalAnalysis)是现代数学的一个分支，隶属于分析学，其研究的主要对象是函数构成的空间。所谓的泛函就是定义域是一个函数集，而值域是实数集或者实数集的一个了集，推广开來，泛函就是从任意的向量空间到标量的映射。也就是说，它是从函数空间到数域的映射。泛函分析理论是为克服黎曼积分理论的缺陷而创立的新积分理论，其基础是集合与测度理论，所以也可以称为测度与积分理论。泛函分析是由对变

2、换(如傅立叶变换等)的性质的研究和对微分方程以及积分方程的研究发展而來的。使用泛函作为表述源口变分法，代表作用于函数的函数。巴拿赫(StefanBnnach)是泛函分析理论的主耍奠基人乙一,而数学家兼物理学家伏尔泰拉(VitoVolteira)对泛函分析的广泛应用有重要贡献。泛函分析综合运用函数论，几何学，代数学的观点来研究无限维向量空间上的函数，算子和极限理论。它可以看作无限维向量空间的解析几何及数学分析。主要内容有拓扑线性空间等。泛函分析在数学物理方程，概率论，计算数学等分科屮都有应用，也是研究具有无限个自由度的物理系统的数

3、学工具。泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间Z间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支学科。2泛函分析中的空间泛函分析这门课程主要讲述了各种空间和算了的概念以及它们的性质，画对泛函分析里学习过的空间进行简要的介绍。2.1度量空间定义I：设X施一个非空集合，X叫做距离空间或度量空间，是指在X上定义一个双变量的实值函数，满足下面三个条件：(1)非负饬券良仅)当;Q(X,y)=0X=y(2)对称性p(x,y)=Q(y,x)(3)三角不等工0(x,y)

4、于度量空间应当注意度量空间实际上是在定义了距离的基础上才定义它的.如果去掉了“Q(x,y)>0”这个条件,则称p为(X,p)的拟即离。只有在度量空间的基础上，可以定义完备度量空间。度量空间称为完备的当且仅当它的每一个Cauchy序列收敛于X中某一点).明显地说2.2线性空间定义2：设X是任一非空集合，若K是一个数域(R或C)如果X对某种规定的加法和数乘两种运算封闭，且Vx,yeX,XeK,满足：(1)x+y=y+x；(2)X/九入&K,yXx=-?ty则称X为线性空间。2.3内积空间定义3：设X是数域K上的线性空间，若对所有的x

5、,ywX,都存在K中唯一确定的数与之对应，记为〈x,y〉，若〈，〉：XxXtK满足：(1)〈x,y>>0,且舖yH仅当X=0;(2)Qx卩*zax，沥,&;〉+〈〉(3)〈x,y〉=〈y,x〉；则称〈xd〉是x与y的内积，定义了内积的线性空间X称为内积空间。曲内积空间的定义可以推出：(4)〈海y卩zax,淋，Z;〉+〈〉(5)〈x,0〉=〈y,0〉=0;当K取实数域时，X称为实内积空间，此时(3')〈x,y〉=〈y,x〉；(4')〈xxy卩曲x,涉x，Z；〉+〈〉当K取复数域时，称X是复内积空间。2.4Hilbert空间在讨论H

6、ilbert空间前先要定义范数。定义4：设X是内积空间，对任意的xeX,

7、

8、x

9、

10、J〈x,x〉称为向量x的模或x的范数，

11、

12、

13、

14、：XtR称为由内积导出的范数。对于有内积导岀的范数，有以下的性质：(1)非负性0x

15、

16、ft当且啊务60：(2)时短意的K,住

17、

18、

19、

20、=

21、HI

22、

23、⑶l

24、x+y

25、

26、s

27、

28、x

29、

30、+

31、

32、y

33、

34、;(1)H-

35、

36、y

37、

38、

39、

40、x-y

41、

42、；设X是内积空间，对于任意的x,ygK,定义度量p(x,y)=

43、

44、x

45、

46、-

47、

48、y

49、

50、=J〈x-yx,—y〉,则(X,p)是度量空间，并称p是由内积导出的度量。定义5：设X是内积空间，

51、若X是按内积导出的度量空间是完备的(简称内积完备)，则称X是Hilbert空间。2.5赋范线性空间定义5：设X是线性空间，

52、

53、

54、

55、是X上的实值函数，满足(l)VxgX,

56、

57、x

58、

59、>0,当x=0：⑵碗xcuK,xwX,

60、

61、

62、

63、=

64、HI

65、

66、(1)(三角不等式)

67、

68、x+y

69、

70、<

71、

72、x

73、

74、+

75、

76、y

77、

78、;则称

79、

80、

81、

82、为X上的范数，(X,

83、

84、

85、

86、)称为赋范线性空间。注意赋范线性空间未必是内积空间。2.6Banach空间令p(x,y)=

87、

88、x

89、

90、-

91、

92、y

93、

94、,Vx,ygX则为X上的度量。若X按此度量完备(简称按范数完备)，则称X为Banach

95、空间。此类空间是泛函分析的一类重要空间，Hibeit空间必为Banach空间。3泛函分析中的算子泛函分析中另外一个重要的概念就是算子，下面对算子进行简要的介绍。3.1线性算子定义1：设X,Y是同一个数域K上的内积空间，这里K为实数或负数域，满足：T(ax阳)aT