数值分析 - 第4章 数值积分与数值微分new

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1、4.3习题课例3：给出下列数据，计算，1.2ln(1x2)dx，计算过程保留4位小数。例1：取m=4，即n=8，用复合抛物线求积公式计算积分ò+0－0.020.040.060.80.102解n=8，h=(12-0)/8=0.15，f(x)=ln(1+x)，计算列表5.065.075.0655.055.0552f(xk)=ln(1+xk)kxk端点奇数号偶数号00.000解：（5.07－5.06）/（0.04－0.02）=0.510.150.022320.300.086230.450.1844（5.05－5.07）/（0.08－0.04）=－0.540.60

2、0.307550.750.446360.900.5933（5.05－5.055）/（0.08－0.10）=0.2571.050.743181.200.8920（(0.10)－(0.06)）/（0.10－0.06）=18.751.39610.98700.8920å代入复合抛物线求积公式例4：在计算数值导数时，它的误差由截断误差和舍入差两部分组成。用差商或插值公式近似导数1.2h2产生截断误差，由原始值的数值近似产生舍入误差。在差商计算中，从截断误差的逼近值的角度看，ln(1+x)dx=[f+f+4(f+f+f+f)+2(f+f+f)]ò08135724603

3、0.15=[0.8920+4´1.3961+2´0.987=0.4225越小，则误差也越小；但是太小的会带来较大的舍入误差。怎样选择最佳步长，使截断误差与舍3入误差之和最小呢？n2n1d(x-1)一般对计算导数的近似公式进行分析可得到误差的表示式，以中心差商为例，截断误差不超过例2：已知勒让德多项式P(x)=，证明两点(n=2)的高斯－勒让德求积公式为n2nn!dxn111òf(x)dx»f(-)+f()-1332221d(x-1)12证明：当n=2时，勒让德多项式为P(x)==(3x-1)2222!dx22而舍入误差可用量估计（证明略），其中是函数的原始

4、值的绝对误差限，总误差为1令P(x)=0，得两个高斯点x=±，20,13111构造求积公式f(x)dx»Af(-)+Af()ò-10133由代数精度的定义，上式对f(x)=1,x精确成立，有ìA0+A1=2当时，总误差达到最小值，即ïí11A(-)+A()=0ï01î33111（*）解得A0=A1=1，得到求积公式ò-f(x)dx»f(-)+f()133可以看到用误差的表达式确定步长，难度较大，难以实际操作。12当时，通常用事后估计方法选取步长，例如，记为步长等于的差商计算公式，给定误差界，当时，就是合适的步长。（7.5）误差项为：（1）对函数，取不同的步

5、长计算，观察误差变化规律，从而确定最佳步长。解：误差误差0.103.1630－0.00480.053.1590－0.00080.093.1622－0.00400.043.1588－0.0006(2)给定，并有，计算。0.083.1613－0.00310.033.1583－0.00010.073.1607－0.00250.023.1575－0.0007解：作过的插值多项式：0.063.1600－0.00180.013.1550－0.0032表中数据显示，当步长从0.10减少到0.03时，数值微分误差的绝对值从0.0048减少到0.0001，而随着的进一步减少

6、，误差的绝对值又有所反弹，表明当步长小于0.03时，舍入误差起了主要作用。在实际计算中是无法得到误差的准确数值的，这时以最小为标准确定步长，本例中取=0.04。对于给定的的函数表，建立插值函数，用插值函数的导数近似函数的导数。设为上的节点，给定，以为插值点构造插值多项式，以的各阶导数近似的相应阶的导数，即将代入得三点端点公式和三点中点公式：344T-TS=42»44-10.69325,2利用泰勒（Taylor）展开进行比较和分析，可得三点公式的截断误差是。4S4-S2C4=2»0.69317.4-1类似地，可得到五点中点公式和五点端点公式：（1）将[1,2

7、]8等分1ææ9öæ11öæ13öæ15ööH8=ççfç÷+fç÷+fç÷+fç÷÷÷»0.69122,2èè8øè8øè8øè8øø1()T8=T4+H8»0.69412,24T-TS=848»0.69315,4-124S8-S4C=»0.69315,3842-14C-CR=84»0.69315.834-1由于C-R=0.00002<0.0001.故计算可以停止。所得积分近似值为484.4习题、解答或提示0.69315。1.解（1）在区间[1,2]上用梯形公式得2.解令f(x)=1，有hh13ò1dx=[1+1]+0,即h=h02T1=(f(1)+f(

8、)2)==0.75000.24令f(x)=x时，有22（2）将[1