数值分析—第6章 数值积分与数值微分.ppt

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1、第6章数值积分与数值微分6.1插值型求积公式6.2三个常用的求积公式及其误差6.3复化求积公式6.4Romberg求积公式6.5Gauss求积公式6.6数值微分法NumericalIntegrationAndNumericalDerivation2021/9/91第6章数值积分与数值微分为什么要进行数值积分？在微积分里，按Newton-Leibniz公式求定积分要求被积函数f(x)☞有解析表达式；☞f(x)的原函数F(x)为初等函数．数值积分近似计算2021/9/92第6章数值积分与数值微分☎f(x)有表达式，原函数

2、是初等函数，但表达式相当复杂.e.g.但是在许多实际问题经常遇到下列情况：☎f(x)没有解析表达式，只有数表形式e.g.☎f(x)有表达式，但原函数不是初等函数e.g.它们的原函数都不是初等函数.x12345f(x)44.5688.52021/9/93第6章数值积分与数值微分6.1插值型求积公式近似计算思路利用插值多项式则积分易算。在[a,b]上取ax0

3、94第6章数值积分与数值微分当时，可得到6.1.2插值型求积公式的余项2021/9/95第6章数值积分与数值微分6.1.3求积公式的的代数精度定义6-1若求积公式对于任意次数≤m次的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式不能准确成立，则称该求积公式的代数精度为m．对于代数精度为m的求积公式，若f(x)是不超过m次的代数多项式，则求积公式是精确成立的．确定代数精度的方法一般地，欲使求积公式具有m次代数精度，只要令它对于f(x)=1，x，…，xm都能准确成立，而对于xm+1不成立。2021/9/96第6章数值积分与数

4、值微分解逐次检查公式是否精确成立取f(x)=1：=取f(x)=x：∴此求积公式的代数精度为0例6-1,求其代数精度。定理6-1对任给的n+1个互异的求积节点x0,x1,…,xn,一个机械求积公式的代数精度有n次该公式为插值型求积公式。插值型求积公式是代数精度最高的求积公式2021/9/97第6章数值积分与数值微分解:3h=A0+A1+A2h2=0+A1h+A22h9h3=0+A1h2+A24h229故求积公式的形式为解之得A0=h,A1=0,A2=h.9434f(x)dxf(0)+f(2h)3h49h43h0

5、由公式的构造知,公式至少具有2次代数精度;当f(x)=x3时,公式的左边=h4,右边=18h4,公式的左边右边,说明此公式对f(x)=x3不能准确成立.因此,公式只具有2次代数精度.814例2试构造形如f(x)dxA0f(0)+A1f(h)+A2f(2h)的数值求积公式,使其代数精度尽可能高,并指出其代数精度的阶数.3h0求积公式有A0,A1,A2三个未知数,令公式对f(x)=1,x,x2均准确成立,则有2021/9/98第6章数值积分与数值微分例3给定形如的求积公式，试确定系数，使公式具有尽可能高的代数精度.

6、解当时，得当时，得令分别代入求积公式使它精确成立当时，得解得,于是得当时，而上式右端为，故公式对不精确成立，其代数精度为2.解:2021/9/99第6章数值积分与数值微分2021/9/910第6章数值积分与数值微分HW:P1036.1（2）6.2（3）2021/9/911第6章数值积分与数值微分6.2三个常用的求积公式及其误差当节点等距分布时：令Cotes系数注：Cotes系数仅取决于n和i，可查表得到。与f(x)及区间[a,b]均无关。Newton-Cotes公式这时求积公式Newton-Cotes公式2021/

7、9/912第6章数值积分与数值微分6.2.1梯形公式f(a)f(b)曲边梯形的面积f(x)ab其中梯形公式的代数精度为1；梯形公式的余项用梯形面积近似2021/9/913第6章数值积分与数值微分用抛物形面积近似6.2.2Simpson（辛普森）公式将区间[a,b]二等分，取端点a，b和中点(a+b)/2为节点Simpson公式的代数精度为3；Simpson公式的余项2021/9/914第6章数值积分与数值微分6.2.3Cotes（柯特斯）公式取区间[a,b]的4等分点为节点Cotes公式的代数精度为5；Cotes公式

8、的余项2021/9/915第6章数值积分与数值微分取区间[a,b]的3等分点为节点，Simpson’s3/8-公式的代数精度为3；Simpson’s3/8-公式的余项n阶Newton-Cotes公式的代数精度至少为n次。n为偶数阶的Newton-Cotes公式至少有n+1次代数精度。2021/9/916第6章数值积分与数值微分例6-2分别利用梯