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1、http://www.paper.edu.cn二次等式约束非凸二次规划问题的全局最优性条件王杉林兰州大学数学与统计学院，兰州（730000）E-mail：wangshanl05@lzu.cn摘要：本文研究了一类带二次等式约束的二次规划问题，利用全局次微分（L-次微分）的概念，对一般二次函数L-次微分进行了全面刻画，建立了带二次等式约束的二次规划问题的全局最优性条件。关键词：非凸二次规划，二次等式约束，全局最优性条件中图分类号：O221.21.引言考虑下列优化问题：T()QPminxAxTst..xB
2、x−β=0TxCx−γ=0其中A,,BC都是n阶实对称矩阵。当A是正定矩阵时，此问题已在文献[2]中有所研究，在文献[5]中作者假定A是半正定矩阵的情形下研究了()QP的全局最优性条件，在文献[3]中Bar-on,J.R.和Grasse，K.R又在下列假设下考虑了此问题的全局最优性条件：（i）A没有限制，（ii）B是正定的，C是半正定的，（iii）β=γ=1。本文将利用了L-次微分的概念，主要根据文[1]给出的非凸优化问题的全局优化条件和Lagrange乘子之间的关系，建立了带二次等式约束的二次规划
3、问题的全局最优解的充分条件，为此不妨再作以下假设：假设1.可行域中至少包含一个全局最优解；22假设2.βγ+≠0；假设3.问题（1）的约束条件是正则的。2.非凸优化问题的全局最优性条件本小节主要根据文[1]给出了L-次微分的概念，并利用此概念考虑了非凸优化问题的全局优化条件和Lagrange乘子条件之间的关系，建立了对于一般带二次约束二次优化问题的全局最优性条件。nnnn我们将用到下列符号：R是n维欧式空间，R表示R上的非负子空间，S+n表示n阶实对称矩阵；对于xyRxy,,∈≥表示xy≥=,1i,
4、...,n；iiAX0表示A是半正定矩阵；用diag(α,αα,...,)表示对角线上的元素为12nα,αα,...,，其余元素都为0的对角矩阵。12n2.1L-次微分和全局最优化nn定义2.1（L-次微分）设f:,RR→=Ll{
5、l:}RR→,lL∈如果nf()xfxl≥+−∀()()(),xlxxR∈，则称l是f在x处的L-次梯度，f在x处的所有0000-1-http://www.paper.edu.cnL-次梯度的集合称为f在x处的L-次微分，记作∂f()x。0Ln下面考虑优化问题（P）min
6、{():fxxSxRgx∈=∈{
7、()≤=0,i1,...,}}n。i[1]n定理2.1（全局极小化的充分条件）设L是定义在R上的实值函数，满足当lL∈m时−∈lL，对于问题（P），设xS∈，如果存在λ∈R使得+mm0(∈∂LLfxg)+∂()∑λii(x)且∑λiigx()0=，那么x是（P）的一个全局极i=1i=1小解。证明由条件可知，存在λ,im=1,...,和lL∈满足λgx()0=，im=1,...,，iiim−∈∂lfLL(),xl∈∂(∑λigi)()x。根据L-次梯度的定义，对于每个
8、i=1nxR∈,f()xfxl≥−+()()()xlx=−−f()(()())xlxlxmm=−f()[(xg∑∑λλii)()(xg−ii)()]xii==11m=−f()xg∑λii()xi=1≥f()x因此，对于每个xSfxfx∈≥,()()，于是x是（P）的一个全局极小解。2.2带二次约束二次规划问题全局最优性的充分条件考虑下列二次规划问题1TT()BQPminxAxax+0021TTst..xAxaxc++≤0,im=1,...,iii2n1TT其中ASaRcR∈∈∈,,,im=1,...
9、,。为行文方便，令f():xx=+Axax，对每个inii0021TTnim=1,...,，gx():=xAxaxc++。SxRgxi=∈{
10、()≤=0,1,...,}m，iiiii2nT1TnLlRRlxxA=→=+∈∈{:
11、()xbxASbR,,}n2容易看出L是线性空间且当lL∈时−lL∈。1TTn引理2.2.1设hx()=+xAxaxcASaRcR+,∈,∈,∈则n2⎧⎫1TT∂=hx()⎨⎬xAxbxAABbaBxBSB+=
12、−=,+∈,,X0Ln⎩⎭2-2-http://www.pape
13、r.edu.cn1TT证明设lL∈，其中lx()=+xAxbx，那么lh∈∂()x当且仅000L2当hxhx()()−≥−lxlx()()。设ϕ()x≥−hxlx()()，0001TTn则ϕ()xx=−(AA)x+(a−b)x+c。由条件对于每个xR∈,都有***2ϕ()x≥ϕ()x，可知AA−X0。再有ϕ()x在x处取得极小值的充要条件是*∇=ϕ()0x，于是baAAx=+−()。取BAA=−，可以看出，***lh∈∂()x当且仅当BSB∈,0X，baB=+x,AA
