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《第03讲_随机过程的基本概念2》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、平稳随机过程的定义直观理解如果产生一个随机过程的主要物理条件在时间的进程中不改变，或变化极小可以忽略，则此信号可以认为是平稳的。如元器件温度稳定时接收机的噪声电压信号。定义严格平稳随机过程：随机过程Xt()的任意N维分布不随时间起点的不同而变化c为任意实数f(,,,xxtctcfxxtt""+,,+=)(,,,,,)""XN11NXNN11一维概率密度：fX(x,t)=fX(x)τ=t1−t2二维概率密度：f(x,x,t,t)=f(x,x,τ)X1212X1224平稳随机过程的定义广义平稳随机过程：m(t)=mXXR(t,t)=R(τ),τ=t−tX12X12严严平格平稳与广义平稳的关系：
2、一定（如果均值、自相关函数都存在）严格平稳广义平稳不一定251平稳随机过程的定义判断随机过程是否为平稳随机过程例8中的随机相位信号是否平稳？XnA()=cos(ω+Φn)0解：均值为0，相关函数为12R(n,n)=Acosω(n−n)X120122因此随机相位信号是平稳的。思考：例10中的半二元传输信号和二元传输信号是否平稳？26平稳随机过程的定义判断随机过程是否为平稳随机过程例：设随机过程X()tA=t，为标准正态分布的随机变量。A试问Xt()是否平稳？解：EXt[()]()=EtA==tEA()02Rtt()[()()](,)[()()==EXtXt]ttEA()=ttX1212121
3、2所以Xt()是非平稳的。272平稳随机过程的定义例11随机过程X(t)=Acosωt+Bsinωt，其中A、为相B00互独立的随机变量，且分别以概率2/3、1/3取值-1和2。试讨论随机过程Xt()的平稳性。思路：求出随机过程的均值和自相关函数解：E[X(t)]=E(A)cosω0t+E(B)sinω0t=0广义平稳R(t,t)=E[X(t)X(t)]=2cosω(t−t)X1212012另外3333E[X(t)]=E[(Acosωt+Bsinωt)]=2(cosωt+sinωt)非严格平稳0000显然fX(,)xt依赖于t28平稳随机过程自相关函数的特性平稳随机过程自相关函数性质相关函
4、数是偶函数RR()τ=()−τXX证明：R()[()()]τ=EXtXt+τX=EXt[()()]+=τXtR()−τX根据这个性质，在实际问题中只需计算或测量R()τX在的τ≥0值293平稳随机过程自相关函数的特性平稳随机过程自相关函数性质相关函数R()τ在τ=0时有最大值XRR(0)≥()τXX2证明：有EXtXt{[()±(+≥τ)]}022即EXt[()2()()()±XtXt++ττXt+≥]022EXt[()]2[()()±EXtXt++ττ][()EXt+≥]0对于平稳过程Xt()，有22EXt[()][()=+EXtτ](=RX0)EXtXt[()()]+τ=RX()τ代入
5、，得2(RRXX0)2()0±τ≥所以RR(0)≥()τXX30平稳随机过程自相关函数的特性平稳随机过程自相关函数性质若随机过程含有周期分量，则自相关函数也含有周期分量例如：Xt()=+Acos(ωtΦ)+Nt()0其中A和ω0为常数，在Φ(,)−ππ上均匀分布，Nt()是与Φ统计独立的平稳随机过程2ARR()τ=cosωτ+()τXN02周期分量314平稳随机过程自相关函数的特性平稳随机过程自相关函数性质若随机过程不含周期分量，则2limR(τ)=mXXτ→∞证明：limR()τ=lim[()(EXtXt+τ)]Xττ→∞→∞2=+lim[()][(EXtEXtτ)]=mXτ→∞当τ→∞
6、时，Xt()与Xt()+τ变为两个相互独立的随机变量结论：要得到平稳随机过程X()t的均值，只需要计算RX()∞32平稳随机过程自相关函数的特性平稳随机过程自相关函数性质222R(0)=σ+mR(0)=EX[()]tXXXXR(τ)XR(0)X2直流功统计平σX率R()∞均功率2mτX0交流功率RR(0)−∞()典型的自相关函数的曲线335平稳随机过程自相关函数的特性平稳随机过程自相关函数性质相关函数具有非负定性即对任意的N个实数tt12,,...,tN和任意实函数gt()，有复NN数∑∑gtgtRtt()()(ijXij−)≥0ij==11NN证明：∑∑gtgtRtt()()(ijXij
7、−)ij==11NN=∑∑gtgtEXtXt()()[()()])ijijij==112N⎡⎤=≥Eg⎢⎥∑()()tiiXt0⎣⎦i=134相关系数和相关时间K(τ)R(τ)−m2比较两个随机变量的XXX相关系数：r(τ)==相关系数的定义：X22σσXXEXYEXEY()()()−r=XYr(τ)≤1DXDY()()X也称为归一化相关函数或标准协方差函数相关时间τ0：当τ>τ0时认为X(t+τ)与X(t)近似看作不相
