应用随机过程2-随机过程的基本概念.pdf

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1、第2章随机过程的基本概念和基本类型2.1随机过程的基本概念2.2有限维分布与Kolmogorov定理2.3随机过程的基本类型2010-9-2理学院施三支2.1随机过程的基本概念一、直观背景及例例2.1.1电话站在时刻t时以前接到的呼叫次数一般情况下它是一个随机变量X，并且依赖时间t，即随机变量X(t)，t[0,24]。例2.1.2研究某一商品的销售量一般情况下它是一个随机变量X，并且依赖时间t，即随机变量X(t)，t=1,2,…2010-9-2理学院施三支例2.1.3国民收入问题随着各种随机因素的影响而随机变化，一般地有Y(t)C(t)I(t)其中C(t)、I(t)分

2、别表示t年的消费和积累2010-9-2理学院施三支二、随机过程的定义设E是随机试验，{}是它的样本空间，T是一个参数集，若对于每一个tT，都有随机变量Xt,()与之对应，则称依赖于t的随机变量为Xt,()随机过程，通常记作{Xt)(，tT}或Xt)(。说明参数集T在实际问题中，常常指的是时间参数，但有时也用其它物理量作为参数集。随机过程{X(t)，tT}是一个二元函数X(t)的取值称为状态，状态的全体称为状态空间，记为S2010-9-2理学院施三支T离散、S离散参数TT离散、S非离散（连续）状态S分类T非离散（连续）、S离散T非离散（连续）、S非离散（连续）

3、固定，X(t)称为样本函数或轨道，固定t，X()称为一个随机变量。2010-9-2理学院施三支2.2有限维分布与Kolmogorov定理一、随机过程的分布函数设{X(t)，tT}是一个随机过程，一维分布对于固定的t1T，X(t1)是一个随机变量，函数其分布函数为F(x)P{X(t)x}，tTt11111称F(x)为随机过程X(t)的一维分布函数。t112010-9-2理学院施三支二维随机向量（X(t)，X(t)）(t,t)T1212二维分布联合分布函数函数F(x,x)P{X(t)x,X(t)x}，t1,t2121122称为随机过程X(t)的二维分布函数

4、。2010-9-2理学院施三支n维随机向量（X(t)，X(t)，…，X(t)）12nn维分布联合分布函数函数F(x,x,,x)t1,t2,,tn12nP{X(t)x,X(t)x,，X(t)x}1122nn2010-9-2理学院施三支有限1维，2维，…分布函数的全体：维分布族{Ft1,t2,,tn(x1,x2,,xn),t1,t2,,tnT,n}1一个随机过程的统计特性可由其有限维分布函数族表达出来。一个随机过程有限维分布函数族具有对称性和相容性。定理2.2.1(Kolmogorov存在定理)设一分布函数族满足对称性和相容性，则必存在一个随机过程{X(

5、t),t∈T}，使得这个分布函数族恰好是X(t)的有限维分布族。2010-9-2理学院施三支联合设Xt)(和Yt)(，t,t,,t，t,t,,tT12n12m分布为两个随机过程，n+m维随机向量函数{X(t),X(t),…,X(t)，Y(t),Y(t),…,Y(t)}12n12m的分布函数F(t,,t；t,,t；x,,x；y,,y）XY1n1m1n1mP{X(t1)x1,,X(tn)xn；Y（t1）y1,,Y（tm）ym}称为两个随机过程的n+m维联合分布函数2010-9-2理学院施三支相互设Xt)(和Yt)(，t,t,,t

6、，t,t,,tT12n12m独立如果F(t,,t；t,,t；x,,x；y,,y）XY1n1m1n1mF(t,,t；x,,x）F(t,,t；y,,y）X1n1nY1m1m则称随机过程X(t)和Y(t)相互独立2010-9-2理学院施三支例2.2.1袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t对应随机变量t,如果t时取得红球X(t)3te,如果t时取得白球试求这个随机过程的一维分布函数族。2010-9-2理学院施三支二、随机过程的数字特征1．均值函数设随机过程{X(t)，tT}，则m(t)

7、E[X(t)]，tT，称为随机过程X(t)的均值函数或称为数学期望说明mt)(是Xt)(的所有样本函数在时刻t的函数值的平均它表示随机过程X(t)在时刻t的摆动中心2010-9-2理学院施三支2．方差函数随机过程{X(t)，tT}的二阶中心矩2D(t)D[X(t)]E[(X(t)m(t))]称为随机过程X(t)的方差函数说明均方差函数Dt)(的平方根t)(Dt)(它表示X(t)在各个时刻t对于m(t)的偏离程度2010-9-2理学院施三支3．协方差函数随机过程X(t)在t,tT的状态X(t)和X(t