资源描述：
《概率论与数理统计_熊小峰_协方差、相关系数和矩的概念》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、§4.3协方差、相关系数和矩问题对于二维随机变量(X,Y):已知联合分布边缘分布这说明对于二维随机变量，除了每个随机变量各自的概率特性以外，相互之间可能还有某种联系.问题是用一个什么样的数去反映这种联系.数E{[X−E(X)][Y−E(Y)]}反映了随机变量X,Y之间的某种关系一、协方差的定义与性质1、定义称E{[X−E(X)][Y−E(Y)]}为X,Y的协方差.记为Cov(X,Y)=E{[X−E(X)][Y−E(Y)]}1）若(X,Y)为离散型r.v.，则∞∞Cov(X,Y)=[x−E(X)][y−E(Y)]p∑∑ijijij=11=2）若(X,Y)为连续型r.v
2、.，则+∞+∞Cov(X,Y)=∫∫[x−E(X)][y−E(Y)]f(x,y)dxdy−∞−∞2、协方差的性质1）Cov(X,Y)=Cov(Y,X)=E(XY)−E(X)E(Y)2）Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)3）Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z)4）Cov(X,X)=D(X)25）
3、Cov(X,Y)
4、≤D(X)D(Y)当D(X)>0,D(Y)>0时，当且仅当P{Y−E(Y)=t0(X−E(X))}=1时，等式成立—Cauchy-Schwarz不等式证5令2g(t)=E[(Y−E(Y))−t(X−E(X))]2=D(Y)−2tC
5、ov(X,Y)+tD(X)对任何实数t,g(t)≥024Cov(X,Y)−4D(X)D(Y)≤0即2
6、Cov(X,Y)
7、≤D(X)D(Y)等号成立g(t)=0有两个相等的实零点Cov(X,Y)⎛D(Y)⎞t0==⎜±⎟D(X)⎝D(X)⎠g(t0)=0即2E[(Y−E(Y))−t(X−E(X))]=00又显然E[(Y−E(Y))−t0(X−E(X))]=0D[(Y−E(Y))−t0(X−E(X))]=0P{(Y−E(Y))−t0(X−E(X))=0}=1P{(Y−E(Y))−t0(X−E(X))=0}=1即P{(Y−E(Y))=t0(X−E(X))}=1即Y与X有线
8、性关系的概率等于1，这种线性关系为⎧Y−E(Y)X−E(X)⎫P⎨=±⎬=1⎩D(Y)D(X)⎭完全类似地可以证明222E(XY)≤E(X)E(Y)当E(X2)>0,E(Y2)>0时，当且仅当P{Y=t0X}=1时，等式成立二、相关系数的定义与性质1、定义若D(X)>0,D(Y)>0,称⎛(X−E(X))(Y−E(Y)⎞Cov(X,Y)E⎜⎟=⎝D(X)D(Y)⎠D(X)D(Y)为X,Y的相关系数，记为Cov(X,Y)ρ=XYD(X)D(Y)2、相关系数的性质1）
9、ρXY
10、≤12）
11、ρXY
12、=1Cauchy-Schwarz不等式的等号成立即Y与X有线性关系的概率等于
13、1，这种线性关系为⎧Y−E(Y)X−E(X)⎫P⎨=±⎬=1⎩D(Y)D(X)⎭ρ=1Cov(X,Y)>0XY⎧Y−E(Y)X−E(X)⎫P⎨=⎬=1⎩D(Y)D(X)⎭ρ=−1Cov(X,Y)<0XY⎧Y−E(Y)X−E(X)⎫P⎨=−⎬=1⎩D(Y)D(X)⎭若X,Y是两个随机变量，用X的线性函数去逼近Y所产生的平均平方误差为2E[Y−(aX+b)]Cov(X,Y)当取aˆ=,D(X)bˆ=E(Y)−aˆE(X)D(Y)=E(Y)−ρXYE（X）D(X)平均平方误差最小.ρ=0X,Y线性不相关3）XYCov(X,Y)=0E(XY)=E(X)E(Y)D(X±Y)=
14、D(X)+D(Y)X,Y相互独立X,Y线性不相关若(X,Y)服从二维正态分布，X,Y相互独立X,Y线性不相关例设X服从(-1/2,1/2)内的均匀分布,而Y=cosX,不难求得，Cov(X,Y)=0，（请课下自行验证）因而ρ=0，即X和Y线性不相关.但Y与X有严格的函数关系，即X和Y不独立.(ξ,η){(,)
15、221}例设服从单位圆D=xyx+y≤上的均匀分布,则由前面的讨论知,ξ与η不相互独立.下面我们求其相关系数.2∞∞11−yx1E(ξ)=∫∫xf(x,y)dxdy=∫∫dxdy=∫dy∫xdx=0−∞−∞x2+y2≤1ππ−1−1−y2同理由对称性E(η)=
16、0+∞+∞1E(ξη)=∫∫xyf(x,y)dxdy=∫∫xydxdy−∞−∞π22x+y≤12111−x=xdxydy=0π∫−1∫−1−x2∴Cov(ξ,η)=E(ξη)−E(ξ)E(η)=0⇒ρξη=0即与ξη线性不相关三、有关例题例1已知X,Y的联合分布律为Y10X0
