概率论与数理统计电子教案：c4_3 协方差.相关系数与矩.ppt

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1、§4.3协方差.相关系数与矩D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}定义：若E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}存在，称cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}为随机变量X,Y的协方差。注:D(X)=cov(X,X)D(X士Y)=D(X)+D(Y)士2cov(X,Y)一.协方差协方差的性质：cov(X,Y)＝cov(Y,X)cov(aX,bY)＝abcov(X,Y)cov(X1+X2,Y)＝cov(X1,Y)+cov(X2,Y)常用计算公式：cov(

2、X,Y)＝E(XY)–E(X)E(Y)练习：已知（X,Y)的联合概率密度为：则cov(X,Y)＝0定义：设n维随机变量(X1,X2,…,Xn)的协方差Cij=cov(Xi,Xj)均存在.称矩阵为(X1,X2,…,Xn)的协方差矩阵.三、协方差矩阵的性质协方差例题3）C是非负定矩阵；对称阵二.相关系数定义：设二维随机变量X,Y的D(X)>0,D(Y)>0称为随机变量X与Y的相关系数。注：1）ρXY是一无量纲的量。2）性质：设随机变量X,Y的相关系数ρ存在，则1）

3、ρ

4、12）

5、ρ

6、＝1X与Y依概率为1线性相关。即证明证明3）若＝a1X+b1,=a2Y+b2则证明相关系数是

7、衡量两个随机变量之间线性相关程度的数字特征.定理：设随机变量X,Y的相关系数存在2）ρXY＝－1称X,Y负相关.1）ρXY＝1称X,Y正相关.3）ρXY＝0称X,Y不相关.注：ρXY＝0仅说明X,Y之间没有线性关系，但可以有其他非线性关系.参见书上P116例4.4.4.定义：若随机变量X与Y相互独立，则X与Y不相关.即ρXY＝0注：1）此定理的逆定理不成立.例4.3.12）(X,Y)~N(μ1,σ21;μ2,σ22;ρ)则X,Y相互独立ρ＝0参见P117例4.4.6.例4.3.2例4.3.3三.矩定义：设X为随机变量，若E(

8、X

9、k)<+∞,则称γk=E(Xk)k=1,2,

10、3…..为X的k阶原点矩.称αk=E(

11、X

12、k)k=1,2,3…..为X的k阶绝对原点矩.设X为随机变量，若E[

13、X-E(X)

14、k]<+∞,则称μk=E{[X-E(X)]k}k=1,2,3…..为X的k阶中心矩.定义：称βk=E[

15、X-E(X)

16、k]k=1,2,3…..为X的k阶绝对中心矩.的关系：与kkmg协方差.相关系数与矩1）

17、ρ

18、1协方差.相关系数与矩2）

19、ρ

20、＝1X与Y依概率为1线性相关。即协方差.相关系数与矩3）若＝a1X+b1,=a2Y+b2则协方差.相关系数与矩例4.3.1：(X,Y)在以原点为圆心的单位圆内服从均匀分布。协方差.相关系数与矩例：

21、(X,Y)在以原点为圆心的单位圆内服从均匀分布。不相关不一定相互独立!!!协方差.相关系数与矩协方差.相关系数与矩例4.3.2假设二维随机变量（X，Y）在矩形G={（x，y）

22、0≤x≤2,0≤y≤1}上服从均匀分布．记求ρUV关键是求E(UV)求出UV分布律GXYO例4.3.2设二维随机变量（X，Y）在矩形G={（x，y）

23、0≤x≤2，0≤y≤1}上服从均匀分布．记求ρUV协方差.相关系数与矩解：由已知可得GXYO协方差.相关系数与矩协方差.相关系数与矩例4.3.3某集装箱中放有100件产品，其中一二三等品分别为80.10.10件。现从中任取一件，记关键是求E(X1X2

24、)求出X1X2分布律协方差.相关系数与矩例4.3.3某集装箱中放有100件产品，其中一二三等品分别为80.10.10件。现从中任取一件，记解：由已知可得协方差.相关系数与矩例4.3.1设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为求:(X,Y)的协方差矩阵。分析：计算(X,Y)的协方差矩阵,本质上就是计算X、Y的方差和协方差.解.先计算E(X),E(Y)为计算方差,再计算E(X2),E(Y2)得到为计算协方差,计算E(XY)得到Cov(X,Y)于是,(X,Y)的协方差矩阵为