泛函分析 答案(张恭庆)1[1].3new

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1、1.3.1在度量空间中求证；为了子集A是列紧的，其充分且必要条件是对

0存在A的列紧的
网．证明必要性显然,只证充分性.

0,设N是A
的列紧的2网;
N0是N的有限2网,则有
xA,N,
x,
2N,x

N0,
,x
2
x,x

x,
,x



.22N0是A的有限
网.1.3.2给定距离空间
X,,设MX是紧集,求证M上连续函数必有界,亦达到它的上,下确界.证明f
x0f
xnk,supf
xf
xx

2、M

0,x
M,f
x

x1n,nf
xnf
x0f
xnkf
x0.注紧集条件不可少.例
0,1上考虑1xn
t,xn
ttn,f
x
x2
tdt01f
tn
t2ndt1inff
tn0,02n1n10
0,1.1.3.3在度量空间中求证：完全有界的集合是有界的,并且通过考虑2的子集1ekk1,ek0,0,,1,0,k来说明一个集合可以是有界但不完全有界.证设M是完全有界集,那么

0,M的有限的
网.

3、特别对
1,设nMB
xk,1Nx1,x2,,xn,则有k1.于是
xM,设a为空间X的一个固定元.我们有
x,a
x,xk
xk,a1max
xk,a,1kn即M是有界的.下面说明ekk1有界但不完全有界.首先,对
k,2
ek,1,其中0,0,,0,.由此可见ekk1有界.再注意到eiej0,0,,1,0,0,0,,1,0,ijj0,0,,1,0,,1,
ji.i12
k
k

4、2
ei,ejeiej2
ji.k1由此可见,ekk1与其任意子列都不收敛,从而ekk1不是列紧的,根据Hausdorff定理,也就不完全有界.1.3.4设
X,是度量空间，F1，F2是它的两个紧子2集，求证x1F1,x2F2,使得
F1,F2
x1,x2,其中def
F1,F2inf
x,y.xF1,yF2证明记d
F1,F2,
xF1,yF2.
nN,xnF1,ynF2,d
x1n,yndn设xnkx1F

5、1,相应的ynkF2,序列yn未必收敛,kynk但因为F2紧,存在它们的子序列j收敛,设ynkx2F2,j即有jdx1.nk,ynkdnkd
x1,x2jjj1.3.5设M是Ca,b中的有界集,求证集合xMF
x
f
tdt

6、fMa是列紧集.xEF
x
f
tdt

7、fM,证:设a
fM,

8、f
t

9、M0

ta,bxb

10、F
x

11、
f
tdt

12、f
t

13、dtM0
baaa

FE.即E一致有界.x2x2

14、F
x2F
x1

15、

16、
f
tdt

17、f
t

18、dtM0

19、x2x1

20、x1x1
,

0,M03

21、x2x1

22、

23、F
x2F
x1

24、


FE.即E等度连续.1.3.5设M是Ca,b中的有界集,求证集合xMF
x
f
tdt

25、fMa是列紧集.xEF
x
f
tdt

26、fM,证:设a
fM,

27、f
t

28、M0

ta,bxb

29、F
x

30、
f
tdt

31、f
t

32、dtM0
baaa

FE.即E一致有界.x2x2

33、F
x2F
x1

34、
f
t

35、dt

36、f
t

37、dtM0

38、x2x1

39、x1x1
,

0,M0

40、x2x1

41、

42、F
x2F
x1

43、


FE.即E等度连续.1.3.6求证sinntn1在C0,中不是列紧的.证:只要证sinntn1非等度连续.对
01,
0,取kN,使得1,nkk2k,t0,,tk4k00,1,

44、tk0

45、4kk

46、sinnktksinnk0

47、sin1
0.2由此可见,sinntn1非等度连续.1.3.7空间S

48、中集合A的列紧性条件.A在S中是列紧的，当且仅当，对于任何n
,Cn0,使得对

1,2,,n,A,的点的第n个坐标的4数集是有界的，即

49、n

50、Cn
n1,2,.证必要性.因为A在S中是列紧的,任意一个无穷点列
mA可以取出收敛子序列
mk.因为S中的收敛与按坐标收敛等价,所以点列
m中的每一
mn个点(固定m)的坐标序列
n1,2,也可以从其任意无穷子集中取出收敛子序列,