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1、学院学术论文一次同余式组的解法Acongruenceofthesolution姓名所在学院专业班级学号指导教师日期6摘要:研究了有关同余式组的解法,特别是孙子定理的应用,当模不两两互质时,就不能用孙子定理来解了,那该怎么办呢?我们将在实例的求解中来揭密.[Summary]Hasstudiedtherelatedcongruencegroup'ssolution,speciallyResiduetheoremapplication,whenthemold22arenotcoprime,couldnotusetheResiduetheoremtosolve,
2、howshouldthatmanage?Wewillrevealintheexamplesolution.关键字:一次同余式组模孙子定理[Keywords]AcongruencegroupMoldResiduetheorem正文：引理1.（孙子定理）设，……….是k个两两互质的正数，m=,m=,i=1,2,…,k,则同余式组x≡(mod),x≡(mod)，…，x≡(mod)的解为：x≡++…+(modm）,……(2)，其中≡1（mod）,i=1,2,…,k.证明：由（，）=1，i≠j即得（，）=1，故由§1定理即知对每一，有一存在，使得≡1（mod）.另
3、一方面m=,因此
4、，i≠j，故≡≡（mod）即为（1）的解。若是适合（1）的任意两个整数，则≡（mod）,i=1,2,…,k,因（，）=1，于是≡（modm），故（1）的解只有（2）完【1】引理2.设所给的一次同余式组为：6X≡(mod)X≡(mod)…X≡(mod)（ⅰ）取m=[,,,…],则所给同余式组有解的充要是:（）
5、（）1≤i≠j≤k,且若有解，则对模m的解数为1（…未必两两互质）（ⅱ）找出一组正数…满足
6、，1≤j≤k,且…两两互质，m=（ⅲ）若同余式组X≡（mod）1≤j≤k有解，则它的解与同余式组X≡（mod）1≤j≤k同解，再用引理1求解
7、。证明：（ⅰ）充分性：对k用数学归纳法证明①当k=2时，显然成立。②假设当k=n时，在所给条件满足的情况下，相应的n个同余式组成的同余式有解，当k=n+1时，所给同余式组为：X≡i=1,2,…，n,n+1且满足条件（）
8、（）i，j=1,2,…，n,n+1必要性：我们证明在这些条件下，此同余式组有解。由于
9、.则X≡X≡有解设x=是适合这两个同余式的一个整数，则适合其的一切整数可由X≡表出。下面考虑如下n个联立同余式X≡i=1,2,…，n-1X≡6对于这个同余式组，我们有（）
10、（）i，j=1,2,…，n-1又≡≡≡≡故≡≡则≡又=（，）i=1,2,…，n-1
11、这样一来，上述新的同余式组就满足如下条件：≡（mod）i，j=1,2,…，n-1≡(mod（，）)i=1,2,…，n-1于是，由数学归纳法假设这个同余式组有解，而它的解与原同余式组同解。则当n=k+1时，原同余式组有解，则命题成立（ⅱ，ⅲ）证明在（ⅰ）的过程中【2】例：1.韩信点兵：有兵一队，若列成五行纵队，则末行一人，成六行纵队，则末行五人，成七行纵队，则末行四人；成十一行纵队，则末行十人，求兵数。解：由题意知，x≡1(mod5),x≡5(mod6),x≡4(mod7),x≡10(mod11)此时=5，=6，=7，=11两两互质，可以用孙子定理求解，则
12、m=5*6*7*11=2310,=6*7*11=462,=5*7*11=385,=5*6*11=330,5*6*7=210.≡1(mod)，i=1,2,3,4得=3=1=1=1，6故x≡3*462*1+1*385*5+1*330*4+1*210*10≡6731≡2111（mod2310）.【3】2.解一次同余式组x≡3(mod8)x≡11(mod20)x≡1(mod15)解：由于=8，=20，=15，两两不互质，就不能用孙子定理了，要用引理2求解（，）=（8，20）=22
13、8=-（，）=（20，15）=55
14、10=-（，）=（8，15）=11
15、2=-则同
16、余式组有解。=8=，=20=*5，=15=3*5，m=[,,,…]=*5*3=120取==8，=5，=3显然
17、，j=1,2,3.且两两互质，则m=原同余式与同余式x≡3(mod8)x≡11(mod5)x≡1(mod13)同解，由于=8，=5，=3两两互质，可以用孙子定理求解m=*5*3=120，=5*3=15,=8*3=24,=58*5=40,≡1(mod)，i=1,2,3,4则=–1=–1=1x≡（–1）*15*3+（–1）*24*11+1*40*1≡–29≡91（mod120）.6参考文献：【1】严士健，初等数论第三版，2003年7月第3版，【M】§
18、2，定理1【2】江西科技师范学院，数学与计算机科学学院，数学与应用数学专业初等数
