高次同余式的解数及解法.doc

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1、§3高次同余式的解数及解法定理1若是个两两互质的正整数，则同余式（1）与同余式组（2）等价。以表示同余式（1）的解数，以表示同余式的解数，则证（ⅰ）先证（1）和（2）等价。设是适合（1）的任一整数，则因故故也适合（2）。反之，设为适合（2）的任一整数，则但两两互质，故即也适合（1）。（ⅱ）设对模的个解为则同余式组（2）的解为下列诸同余式组（3）的解，其中由孙子定理得，对于每一组，同余式组（3）对模恰有一解由上节定理2得，为同余式（1）对模的所有不同的解，个数恰为故例1解同余式（4）解同余式（4）等价于同余式组（5）可以验证同余式组（5

2、）的第一个同余式的解为同余式组（5）的第二个同余式的解为故同余式（4）有个解。由孙子定理，可得同余式组为其中，于是可得同余式（4）的全部解为设的标准分解式为则同余式与同余式组等价。故应讨论同余式（6）的解法。易知，适合（6）的整数必适合（7）下面考虑如何从同余式（7）的解求出同余式（6）的解。定理2设（8）是同余式（7）的一个解，，则（8）恰好含有同余式（6）的一个解其中，证对作数学归纳法。（ⅰ）先证当时，命题结论是正确的。由（8），（9）将它代入得但故因故对模恰有一解即代入（9）得，（8）中满足的全部整数是其中，故（8）恰好含有的一

3、个解其中，其中，假设定理结论对成立，即（8）恰含有的一个解，即（8）中满足的全部整数是其中，代入（6）得但，故又故而从而故上式恰有一解即故（8）中满足同余式（6）的全部整数是其中，故（8）恰好给出了同余式（6）的一个解其中例2解同余式解经过验算，有一解又以代入得（10）因故（10）等价于于是，是的一解。以代入得故为同余式的解。习题1.解同余式（1）解因且两两互质，故同余式（1）与同余式组（2）同解。容易验证，同余式组（2）的第一个同余式有两个解：即第二个同余式有一个解：即第三个同余式故同余式（1）有个解。即诸同余式组的解。由孙子定理得

4、以的值分别代入即得（1）的全部解：1.解同余式（1）解因故同余式（1）与同余式组（2）同解。设，则通过验证，易得同余式共有两个解：因不是3的倍数，故中含有同余式组(2)的第一个同余式的一个解。以代入同余式组(2)的第一个同余式，得故即为同余式组(2)的第一个同余式的一个解。因不是3的倍数，故中含有同余式组(2)的第一个同余式的一个解。以代入同余式组(2)的第一个同余式，得故即为同余式组(2)的第一个同余式的一个解。因此，同余式组(2)的第一个同余式共有两个解：通过验证，易得同余式共有两个解：因不是5的倍数，故中含有同余式组(2)的第二

5、个同余式的一个解。以代入同余式组(2)的第二个同余式，得故即为同余式组(2)的第二个同余式的一个解。因不是5的倍数，故中含有同余式组(2)的第二个同余式的一个解。以代入同余式组(2)的第二个同余式，得，但，故故即为同余式组(2)的第二个同余式的一个解。因此，同余式组(2)的第二个同余式共有两个解：故同余式（1）有个解。即诸同余式组的解。由孙子定理得以的值分别代入即得（1）的全部解：