第6讲随机过程

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1、随机过程的基本概念1．概率论1.1条件概率设A、B是两个事件，当P(B)>0时P(AB)P()A

2、B=P()B称为在事件B发生的条件下事件A的条件概率。可以推广到任意有限多个事件的场合。设A1,A2,L,An为任意n个事件，则有P()A1A2LAn=P(A1)P(A2

3、A1)P()A3

4、A1A2LP(An

5、A1A2LAn−1)1.2事件的独立性对于任意两个事件A与B，若P(AB)=P(A)(PB)则称事件A与B是相互独立的。一般地，设n个事件A1,A2,L,An相互独立，则有P()A1A2LAn=

6、P(A1)P(A2)LP(An)1.3全概率公式设A1,A2,L,An是样本空间Ω的一个完备事件组，且P()Ai>0(i=1,2,L,n)，则对于在样本空间Ω上定义的任一随机事件B的概率，可计算如下nP()B=∑P(Ai)P(B

7、Ai)i=1上式称为全概率公式。1.4贝叶斯公式设A1,A2,L,An是样本空间Ω的一个完备事件组，且P()Ai>0(i=1,2,L,n)，则对于在样本空间Ω上定义的任一随机事件B，P()B>0，有()P(B

8、Ai)P(Ai)PAi

9、B=()i=1,2,L,nn∑P()B

10、

11、AkP(Ak)k=1上述公式称为贝叶斯公式。意义：在实际工作中可能碰到这样一类问题，已知某个试验结果B是由多个原因Ai造成的，如果人们通过试验观察到这个结果B，希望利用B来探讨每个原因Ai导致这个结果的可能性有多大，即求后验概率P(Ai

12、B)。与后验概率P(Ai

13、B)相对应，求解P(Ai

14、B)时所需的已知条件P(Ai)被称为先验概率，它是根据以往数据分析所得的。2.随机变量2.1随机变量的定义由于试验前无法确知试验结果，所以变量的值在试验前是无法确知的，即变量的值具有随机性，人们称这种取值随着实

15、验结果而变的变量为随机变量（RandomVariable）。随机变量X的特点是：（1）随着试验结果的不同而取不同的值；（2）取得各个值都有一定的概率。2.2分布函数与概率密度函数设X是一个随机变量，x是任意实数，称函数F(x)=P(X≤x)为随机变量X的分布函数。随机变量X的分布函数的导数定义为它的概率密度函数，简称概率密度，记为f()xdF(x)f()x=dx2.3随机变量的独立性设X与Y是两个随机变量，若对于任意的x与y，有F(x,y)=FX(x)FY(y)则称X与Y是相互独立的。X与Y是相互

16、独立的充要条件也可以表示为f(x,y)=fX(x)fY(y)2.4随机变量的条件分布设(X,Y)的概率密度函数为f(x,y)，在条件Y=y下X的条件概率密度f(x,y)fX

17、Y()x

18、y=fY()yn维概率密度与条件概率密度之间有如下关系f()x1,x2,L,xn=f(x1)f(x2

19、x1)f(x3

20、x1,x2)Lf()xn

21、x1,x2,L,xn−12.5随机变量的数字特征（1）数学期望随机变量X的数学期望也称为均值，定义为+∞E[X]=∫xf()xdx−∞对于离散型随机变量，假定X有N个可能取值

22、，各个取值的概率为P(X=xi)=pi，则数学期望定义为NE[]X=∑xipii=1上式表明，数学期望就是概率加权和，所以也称为统计平均值。（2）条件数学期望（条件均值）随机变量X在随机变量Y给定y时的条件期望为+∞E[]X

23、Y=E[X

24、Y=y]=∫xf()x

25、ydx−∞上式积分的结果将得到和y有关的数，所以说条件期望值是一个随机变量。+∞+∞E[]E[]X

26、Y=∫−∞f(y)∫−∞xf(x

27、y)dxdy+∞+∞=∫−∞x{}∫−∞f(x

28、y)f()ydydx+∞=∫xf(x)dx=E[]X−∞可

29、以得出：随机变量X的条件期望的均值是随机变量X的均值。（3）方差一个随机变量的方差，提供了随机变量围绕其均值分布的疏密程度，方差越小表示随机变量的分布越集中于均值附近。随机变量X方差的定义为2D(X)=Var(X)=E[(X−E(X))]+∞2=∫(x−E(X))f()xdx−∞在应用中还引入与随机变量X具有相同量纲的量σ(X)=D(X)，σ(X)称为X的标准差或均方差。（4）协方差与相关系数设有两个随机变量X和Y，为X和Y的协方差定义为Cov()X,Y=E[(X−E(X))()Y−E(Y)]随机

30、变量X和Y的相关系数定义为Cov(X,Y)Cov(X,Y)rXY==D()XD()Yσ()Xσ(Y)相关系数是描述两个随机变量相互关系的一个数字特征：如果rXY=0，称X和Y是不相关的；如果rXY=1，则称X与Y是完全相关的。2.6随机变量的各阶矩设X为随机变量，均值为mX，则[k]+∞k()EX=∫xfxdxk=1,2,L−∞称为X的k阶原点矩，而k+∞kE[()X−mX]=∫−∞()x−mXf(x)dxk=1,2,L称为X的k阶中心矩。2.7随机变量的独立性与不相关对于随机变量