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1、第六章平稳随机过程6.1平稳随机过程的概念定义定义6.16.1设{X(t)，t∈T}是随机过程，对任意常数τ和正整数n，t,t,…,t∈T,t+τ,t+τ,…,t+τ∈T，12n12n若(X(t),X(t),…,X(t))与12n(X(t+τ),X(t+τ),…,X(t+τ))12n有相同的联合分布，则称{X(t)，t∈T}为严平稳过程，也称狭义平稳过程。6.1平稳随机过程的概念定义定义6.26.2设{X(t)，t∈T}是随机过程，并满足：(1){X(t)，t∈T}是二阶矩过程；(2)对任意t∈T，m(
2、t)=EX(t)=常数；X(3)对任意s,t∈T，R(s,t)=E[X(s)X(t)]=R(t-s)，XX则称{X(t)，t∈T}为宽平稳过程，也称广义平稳过程，简称平稳过程。若T为离散集，称平稳过程{X，n∈T}为n平稳序列。6.1平稳随机过程的概念定义定义6.36.3设{X(t)，t∈T}是随机过程，如果对任意正整数n和t,t,…,t∈T,12n(X(t),X(t),…,X(t))是n维的正态随机12n变量，则称{X(t)，t∈T}为正态过程或高斯过程。6.1平稳随机过程的概念•宽平稳过程严平稳过程
3、二阶矩存在•严平稳过程宽平稳过程正态过程•严平稳过程宽平稳过程6.1平稳随机过程的概念例例6.16.1设X(t)=Ycos(θt)+Zsin(θt),t>0，且Y,Z相互独立，EY=EZ=0，DY=DZ=σ2，试讨论随机过程{X(t),t>0}的平稳性。解解::mX(t)=EX(t)=E[Ycos(θt)+Zsin(θt)]=cos(θt)EY+sin(θt)EZ=0R(s,t)=E[X(s)X(t)]X=E[(Ycos(θs)+Zsin(θs))(Ycos(θt)+Zsin(θt))]6.1平稳随机过
4、程的概念2=E[cos(θs)cos(θt)Y+sinθ(s+t)YZ2+sin(θs)sin(θt)Z]2=cos(θs)cos(θt)E(Y)+sinθ(s+t)E(YZ)2+sin(θs)sin(θt)E(Z)=cos(θs)cos(θt)DY+sinθ(s+t)EYEZ+sin(θs)sin(θt)DZ22=cos(θs)cos(θt)σ+sin(θs)sin(θt)σ2=σcos[(t−s)θ]所以{X(t)，t∈T}为宽平稳过程。6.1平稳随机过程的概念例例6.26.2设{Xn,n=0,±1
5、,±2,…}是实的互不相关随机变量序列，且E[X]=0，D[X]=σ2nn，试讨论随机序列的平稳性。解解::因为E[Xn]=0，2⎧στ,=0R(n,n−=τ)E[XX]=⎨Xnn−τ⎩00,τ≠所以{X,n=0,±1,±2,…}是平稳随机序列。n6.1平稳随机过程的概念例例6.36.3设状态连续、时间离散的随机过程X(t)=sin(2πΘt)，其中是Θ(0,1)上的均匀分布随机变量，t只取整数值1,2,…，试讨论随机过程X(t)的平稳性。解解::E[Xt()]=E[sin(2πΘt)]∞=∫sin(2
6、πθθt)f()dθ−∞1==∫sin(2πθtd)θ006.1平稳随机过程的概念R,(tt−τ)=E[X(t)X(t−τ)]X1=∫sin(2πθt)sin[2πθ(t−τ)]dθ011=∫{cos(2πτθ)−cos[2π2(t−τ)θ]}dθ20⎧1⎪,τ=0=⎨2⎪⎩,0τ≠0所以X(t)是平稳过程。6.2联合平稳随机过程定义定义6.46.4设{X(t)，t∈T}和{Y(t)，t∈T}是两个平稳过程，若它们的互相关函数E[X(t)Y(t-τ)]及E[Y(t)X(t-τ)]仅与τ有关，而与t无关，
7、即R(t,t-τ)=E[X(t)Y(t-τ)]=R(τ)XYXYR(t,t-τ)=E[Y(t)X(t-τ)]=R(τ)YXYX则称X(t)和Y(t)是联合平稳随机过程。6.2联合平稳随机过程命题：命题：当X(t)和Y(t)是联合平稳随机过程时，W(t)=X(t)+Y(t)是平稳随机过程。证明：证明：事实上，EW(t)=EX(t)+EY(t)=常数，E[W(t)W(t−τ)]=E[X(t)+Y(t)][X(t−τ)+Y(t−τ)]=E[X(t)X(t−τ)+X(t)Y(t−τ)+Y(t)X(t−τ)+Y(
8、t)Y(t−τ)]=E[X(t)X(t−τ)]+E[X(t)Y(t−τ)]+E[Y(t)X(t−τ)]+E[Y(t)Y(t−τ)]=R(τ)+R(τ)+R(τ)+R(τ)XXYYXY=R(τ)W6.2联合平稳随机过程时间增量时间平移EX2＜∞正交增量过程宽平稳随机过程EX=0，EX2＜∞独立增量过程严平稳随机过程平稳独立增量过程维纳过程泊凇过程高斯过程增量服从正态分布增量服从泊凇分布有限维联合变量服从正态分布马尔可夫过程时间记忆6.2联合平
