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1、第一章预备知识1.1概率空间一、可测空间随机试验：可重复、可预见、不确定样本空间：随机试验所有可能结果Ω样本点：基本事件e∈Ω事件：A⊆Ω(部分事件)必然事件：Ω不可能事件：∅事件运算：并、交、差、（上、下）极限1.1概率空间定义：定义：集合Ω，某些子集组成集合族ö，满足（1）Ω∈ö（必然事件）（2）若A∈ö,则ΩA∈ö（对立事件）∞（3）若Ai∈ö，则∪Ai∈ö（可列并事件）i=1称ö为σ-代数，（Ω，ö）为可测空间★运算1.1概率空间性质：性质：设（Ω，ö）为可测空间,则（4）∅∈ö（不可能事件）
2、（5）若A,B∈ö,则AB∈ö（差事件）nn∞（6）若Ai∈ö,则∪Ai,∩Ai,∩Ai∈öi=1i=1i=1（有限并，有限交，可列交事件）1.1概率空间例：例：连续投掷两次硬币试验Ω={正正，正反，反正，反反}ö＝2Ω={∅，{正正}，{正反}，{反正}，{反反}，{正正，正反}，{正正，反正}，{正正，反反}，{正反，反正}，{正反，反反}，{反正，反反}，{正正，正反，反正}，{正正，正反，反反}，{正正，反正，反反}，{正反，反正，反反}，{正正，正反，反正，反反}}ö为σ-代数，（Ω，ö）为
3、可测空间1.1概率空间ö={∅，{正正}，{正反}，{正正，正反}，1{反正，反反}，{正反，反正，反反}，{正正，反正，反反}，{正正，正反，反正，反反}}ö={∅，{反正}，{反反}，{反正，反反}，2{正正，正反}，{正正，正反，反反}，{正正，正反，反正}，{正正，正反，反正，反反}}ö={∅，{正正}，{正反，反正，反反}，Ω}3ö={∅，{正反}，{正正，反正，反反}，Ω}4ö为，（Ω，ö）为可测空间ii★由Ω构成的σ-代数不唯一！因此可测空间也不唯一。1.1概率空间二、概率空间定义：定义：
4、设（Ω，ö）为可测空间,映射P：ö→R，A
5、→P（A）满足(1)A∈ö，0≤P（A）≤1(2)P（Ω）=1∞∞⎛⎞(3)P⎜⎜∪Ai⎟⎟=∑P(Ai,)(Ai∩Aj=∅,i≠j)⎝i=1⎠i=1称P是(Ω,ö)上的概率，(Ω,ö,P)为概率空间，P(A)为事件A的概率。1.1概率空间性质：性质：设(Ω,ö,P)为概率空间，则（4）P（∅）=0（5）P（BA）=P(B)-P(A),(A⊆B)（6）⎧∞⎛⎞⎪P⎜⎜∪An⎟⎟,A1⊆A2⊆"⊆An⎪⎝n=1⎠limP(An)=⎨n→∞⎛∞⎞⎪⎪P⎜⎜∩An
6、⎟⎟,A1⊇A2⊇"⊇An⎩⎝n=1⎠1.1概率空间例：例：投掷硬币试验设Ω={正，反}，取ö={∅，{正}，{反}，{正，反}}定义：P{∅}=0，P{正}=P{反}=1/2，P{Ω}=1，则(Ω,ö,P)为概率空间1.1概率空间三、独立事件定义：定义：设(Ω,ö,P)为概率空间，õ⊆ö，若对任意A,A,…,A∈õ，12nn=1,2,…，有nn⎛⎞P⎜⎜∩Ai⎟⎟=∏P(Ai)⎝i=1⎠i=1则称õ为独立事件族。★事件A,B独立，有P(AB)=P(A)P(B)1.1概率空间★事件A,B,C相互独立，有
7、P(AB)=P(A)P(B)P(AC)=P(A)P(C)P(BC)=P(B)P(C)P(ABC)=P(A)P(B)P(C)1.2随机变量及其分布一、基本概念定义：定义：设(Ω,ö,P)为概率空间，映射X：Ω→R，e→X（e）满足x∈R，{e:X(e)≤x}∈ö，则称X(e)是ö上的随机变量，简记X。对任意的x∈R，称F(x)=P{e:X(e)≤x}为随机变量X的分布函数。1.2随机变量及其分布性质：性质：（1）单调性：若x8、=limF(x)=1x→−∞x→+∞（3）F(x)右连续，F(x+0)=F(x)★这三个性质完全刻划了分布函数，即可以证明：满足上述3条款的函数F(x)必为某一随机变量的分布函数。1.2随机变量及其分布例：例：投掷硬币试验设Ω={正，反}，取ö={∅，{正}，{反}，{正，反}}P{∅}=0，P{正}=P{反}=1/2，P{Ω}=1，则(Ω,ö,P)为概率空间。又定义映射X：Ω→R，X(正)=1，X(反)=0（1）x<0，{e:X(e)≤x}=∅∈ö（2）0≤x<1，{e:X(e)≤x}={反}∈ö（3
9、）x≥1，{e:X(e)≤x}={正,反}∈ö则X为ö上的随机变量。1.2随机变量及其分布分布函数为⎧P(∅)=,0x<0⎪F(x)=P{e:X(e)≤x}=P{反}=10,≤x<1⎨2⎪⎩P{正，反}=1，x≥1即⎧,0x<0⎪F(x)=P{X≤x}=10,≤x<1⎨2⎪⎩1，x≥11.2随机变量及其分布二、离散型随机变量及分布函数随机变量：离散型，连续型定义：定义：离散型随机变量X的概率分布用分布律（列）描述：P(X=x)=p，kkk=
