《工程数学》总复习题之01

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1、华南理工大学网络教育学院《工程数学》总复习题之01适用专业（层次）：土木工程（本科）授课教师：王全迪博士、杨立洪博士线性代数部分▲★一．问答题（共4题，每题5分，共计20分）1．叙述三阶行列式的定义。aaa1112132答：定义1：用3个数组成的记号aaa表示数值：212223aaa313233aaaaaa222321232122aaa111213aaaaaa323331333132称为三阶行列式，即：aaa111213aaaaaa222321232122aaa＝aaa212223111213aaaaaa

2、323331333132aaa313233▲★2．叙述n阶行列式的余子式和代数余子式的定义，并写出二者之间的关系.答：定义：在n阶行列式D中划去a所在的第i行和第j列的元素后，ij剩下的元素按原来相对位置所组成的（n－1）阶行列式，称为a的余子ij式，记为M，即ijaaaa111,jj11,11naaaaii1,11,j1i1,ji11,nM＝ijaaaaii1,11,j1i1,ji11,naaaann1,j1n,jn1nijij(1)

3、M称为a的代数余子式，记为A，即A＝(1)Mijijijijij▲★3．叙述矩阵的秩的定义.答：定义：设A为mn矩阵。如果A中不为零的子式最高阶为r，即存在r阶子式不为零，而任何r+1阶子式皆为零，则称r为矩阵A的秩，记作（秩）＝r或R（A）＝r▲★4．叙述对称阵、可逆矩阵的定义。答：定义1：满足条件aai()(,1j,2,,n)的方阵()a称为对称阵。其特ijjiijnn点是：它的元素以主对角线为对称轴对应相等。定义2：对于n阶方阵A，如果存在n阶方阵B，使得AB＝BA=E，其中E为n阶单位阵，

4、则称A为可逆阵，称B为A的逆矩阵。▲★5．叙述矩阵的加法运算、数乘运算定义.答：定义1：设两个mn矩阵aa111nbb111nA＝，B＝aabbmm1nmm1nabab11111nn1则称mn矩阵为矩阵A与B的和，记作A＋Bababm11mmnmn定义2：以数k乘矩阵A的每一个元素所得到的矩阵，称为数k与矩阵A的积，记作kA，如果A＝()a，那么kA=ka()()ka,即ijmnijmnijmn

5、kakaka11121nkakakakA=21222nkkkakakkamm12mm▲★6．叙述向量组的线性相关和线性无关的定义.答：定义：设有向量组,,,,如果存在一组不全为零的数kk,,,,k使12s12s得kkkO成立，则称向量组,,,,线性相关。否则，1122ss12s即仅当kkk0时，才有kkkO成立，则称向量组12s1122ss,,,,线性无关。12s▲★7．齐次线性方程组的基础解系是什么？a

6、xaxax01111221nnaxaxax0答：定义：设T是2112222nn的所有解的集合，若T中存axaxax0nn1122nnn在一组非零解,,,,满足12s（1）,,,,线性无关；12s（2）任意T，都可用,,,,线性表出12s则称,,,,是此方程组的一个基础解系12s▲★8．试述克莱姆法则的内容。答：克莱姆法则：如果线性方程组axaxaxb1111221nn1axaxaxb2

7、112222nn2axaxaxbnn1122nnnn的系数ai(,j1,2,,)n构成的行列式D0,则此线性方程组有唯一解：ijDDDxx12,,,,xn12nDDD其中，Dj(1,2,,)n是将系数行列式D中第j列元素对应地换为常数项jbb,,,b得到的行列式12naabaa111,j111,jn11,aabaa212,j122,jn12,Djaabaann1,j1,nnjn1n▲★二．填空题（共8题，每题4分

8、，共计32分）1111．行列式D1114．111▲★T2．若A是对称矩阵，则AA0.▲★aaaaaa1112131112133．设A＝aaa，则333aaa18A．212223212223aaa666aaa313233313233▲★4．设TA,B均为3阶矩阵，且

9、

10、

11、

12、AB3，则2AB-72.▲★1325