数学分析课后习题答案--高教第二版(陈纪修)--8章

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2、处所做的功为电场在该点处的电位。一个带电量+q的点电荷产生的电场对距离r处的单位正电荷的电场力为∞qFk=（k为常数），求距电场中心x处的电位。xr2+∞qkqq解U=∫kdr=。2xxr图8.1.4+∞+∞⒉证明：若f(x)dx和g(x)dx收敛，k和k为常数，∫a∫a12+∞则∫[kf(x)+kg(x)]dx也收敛，且12awww.khdaw.com+∞+∞+∞[kf(x)+kg(x)]dx=kf(x)dx+kg(x)dx。∫a121∫a2∫a+∞A+∞A证设∫f(x)dx=lim∫f(x)dx，∫g(x)dx=lim∫g(x

3、)dx，则aA→+∞aaA→+∞a+∞A∫a[]k1f(x)+k2g(x)dx=lim∫a[k1f(x)+k2g(x)]dxA→+∞AA+∞+∞=k1Alim→+∞∫af(x)dx+k2Alim→+∞∫ag(x)dx=k1∫af(x)dx+k2∫ag(x)dx。课后答案网⒊计算下列无穷区间的反常积分（发散也是一种计算结果）：+∞+∞⑴−2x5xdx;⑵ec−3xos2xdx;∫esin∫00+∞1∫dx+∞10()xaxb2222++()⑶∫dx;⑷−∞x2++x1(a>,0b>)0;+∞ax2+∞1⑸∫xedx(a∈R);⑹dx

4、(p∈R);0∫2xlnpx267+∞1+∞1⑺∫−∞()x23+1/2dx;⑻∫0(exx+e)−2dx;+∞1+∞lnx⑼∫0x4+1dx；⑽∫01+x2dx。解（1）+∞−2x1+∞−2x12+∞−2x∫0esin5xdx=−∫0edcos5x=−∫0ecos5xdx55512+∞−2x14+∞−2x=−∫0edsin5x=−∫0esin5xdx，525525所以+∞5∫es−2xin5xdx=。029（2）+∞−3x1+∞−3x3+∞−3x∫0ecos2xdx=∫0edsin2x=∫0esin2xdx223+∞−3x39+

5、∞−3x=−∫0edcos2x=−∫0ecos2xdx，444所以+∞−3x3∫ecos2xdx=。013+∞1+∞12+∞1⎛2x+1⎞（3）∫−∞x2+x+1dx=∫−∞22dx=∫−∞2d⎜⎜⎟⎟⎛1⎞⎛www.khdaw.com3⎞3⎛2x+1⎞⎝3⎠⎜x+⎟+⎜⎜⎟⎟1+⎜⎜⎟⎟⎝2⎠⎝2⎠⎝3⎠22x+1+∞2π=arctan−∞=。333（4）当a≠b时，+∞课后答案网11+∞⎛11⎞∫dx=∫⎜−⎟dx0()xaxb2222++()2202222b−a⎝x+ax+b⎠1⎛ππ⎞π=⎜−⎟=；b2a22a2b2ab(

6、a+b)−⎝⎠当a=b时，+∞11+∞⎛1x2⎞∫0222dx=2∫0⎜⎜22−222⎟⎟dx(x+a)a⎝x+a(x+a)⎠π1+∞1π1+∞dxπππ=3+2∫0xd(22)=3−2∫022=3−3=3，2a2ax+a2a2ax+a2a4a4a268此结果等于在a≠b时的结果中以b=a代入后的结果。（5）当a≥0时积分发散；当a<0时，+∞ax21+∞ax221∫0xedx=∫0ed(ax)=−。2a2a（6）当p≤1时积分发散；当p>1时，+∞11−p+1+∞1−p+1∫dx=(lnx)=(ln)2。2p−p+12p−1xl

7、nx（7）令x=tant，则π+∞1∫dx=∫2costdt=2。−∞22/3π(x+)1−2x（8）令e=t，则+∞1+∞tdt1+∞1∫dx=∫=−=。0(exx+e)−21222141(+t)1(2+t)（9）利用第六章第3节习题1(10)的结果www.khdaw.com212x+2x+122∫dx=ln+arctan(2x+)1+arctan(2x−)1+C，48244x+1x−2x+1即可得到+∞1π∫dx=。04x+122课后答案网+∞lnx1lnx+∞lnx（10）∫02dx=∫02dx+∫12dx,1+x1+x1+

8、x1对等式右端任一积分（例如第二个积分）作变量代换x=，则t+∞lnx1lnt∫12dx=−∫02dt，1+x1+t所以+∞lnx∫dx=0。021+x269⒋计算下列无界函数的反常积分（发散也是一种计算结果）：1xe1⑴∫dx;⑵∫dx;01−x