数学分析课后习题答案--高教第二版(陈纪修)--11章

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1、第十一章Euclid空间上的极限和连续习题11.1Euclid空间上的基本定理1.证明定理11.1.1：距离满足正定性、对称性和三角不等式。证（a）显然有

2、xy−≥

3、0，而且

4、

5、xy−=0⇔x==yi(1,2,,)⋯n⇔x=y。ii(b)由距离定义直接可得

6、

7、xyyx−=−

8、

9、。(c)由于nnnn2222，ft()=−=−∑∑(atbii)tbi2tab∑ii+≥∑ai0ii==11i=1i=1所以关于上述两次三项式的判别式有2nnn⎛⎞22⎜⎟∑∑abii−≤ai∑bi0，⎝⎠ii==11i=1即nnn∑∑ab≤a2∑www.khdaw.comb2。iiiiii==11i=

10、1于是nnnn222∑∑()abii+=+bi2∑abii+∑aiii==11i=1i=12nnnn⎛⎞nn≤+∑∑ba22课后答案网2∑∑b2+a2=+⎜⎟∑∑ab22iiii⎜⎟ii，ii==11i=1i=1⎝⎠ii==11即nnn222∑()abii+≤+∑abii∑。i=1ii==11令axybyz=−,=−，则有iiiiiinn22

11、

12、()xz−=∑∑xii−za=(ii+b)ii==111nn22≤+∑abii∑=

13、

14、xyyz−+−

15、

16、。ii==112.证明：若nR中的点列{x}收敛，则其极限是唯一的。k证假设x和y都是点列{x}的极限，则∀ε>0，k∃∀>NkN

17、,:

18、xx−<

19、ε，11k∃∀>NkN,:

20、xy−<

21、ε。22k于是当kN>max{,N}时，成立12

22、

23、xyxxxy−<−+−<

24、

25、

26、

27、2ε，kk由于ε是任意正数，所以x=y，即极限是唯一的。3.设nR中的点列{x}和{y}收敛，证明：对于任何实数α,β，成立kk等式lim(αx+βy)=αlimx+βlimy。kkkkk→∞k→∞k→∞证设limxk=x，limyk=y，则∀ε>0，k→∞k→∞∃∀>NkN,:

28、xx−<

29、ε，11k∃∀>NkN,:

30、yy−<

31、ε，22k于是当kN>max{,N}时，成立12

32、(αx+βαβαy)(−≤x+y)

33、

34、

35、

36、xx−

37、

38、

39、

40、+βyy

41、−

42、<(

43、α

44、

45、+βε

46、)，kkkk所以www.khdaw.comlim(αx+βy)=αlimx+βlimy。kkkkk→∞k→∞k→∞4.求下列2R中子集的内部、边界与闭包：（1）S={(x,y

47、)x>,0y≠}0；（2）S=22≤；{(x,y0

48、)

49、),0y≠0；∂S={(x,y)x=0或x>,0y=0};S={}(x,y)x≥0。D222222(2)S={(x,y)0

50、⎫(3)S=∅;∂S=⎨(x,y0)

51、)(x+y)(y−x+)1}0解(1)S'={}±1。(2)S'=∅。22(3)S'={(x,y)y−x+1≤0}。6.证明定理11.1.3：x是点集S（n⊂R）的聚点的充分必要条件是：存在S中的点列{xk},满足xk≠

52、x（k=,2,1"），且limxk=x。k→∞11证必要性：假设x是点集S的聚点，对于δ=，在x的δ=邻域中任kk取一点xk≠x，则有limxk=x。k→∞充分性：用反证法。假设x不是点集S的聚点，则在x的某邻域O(,),xδδ>0中，最多只有S的有限个点，所以S∩O(,){}xδ−x为有限集，于是d=−∈inf{

53、yxyS,yx

54、≠}0>，故不存在S中满足xk≠x的点列{xk}以x为极限，产生矛盾。www.khdaw.com227.设U是R上的开集，是否U的每个点都是它的聚点。对于R中的闭集又如何呢？解开集U中的每个点x一定是它的内点，所以x的任意邻域都有U中的无限个点，所

55、以x一定是U的聚点。由于S=是2{(0,0)}R上的闭集，而S只有一个点，所以无聚点，即闭集中的点不一定是它的聚点。8.证明课后答案网n的所有内点组成的点集D必是开集。S⊂RSD证假设x∈S，则∃>δ0，O(,)xδ⊂S。而∀y∈O(,)xδ，由于oO(,

56、yyδ−−⊂xx

57、)O(,)δ，所以y也是S的内点，从而O(,)xδ⊂S，于是D必是开集。S9.证明n的闭包S⊂RS=S∪S′必是闭集。证假设xc∈S，则x∉S，且x不是S的聚点，于是在x的某邻域O(,)xδ中至多只有S的有限项，故存在x的邻域O(,