控制系统的数学模型77106

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1、第二章控制系统的数学模型主要内容:1.数学模型的概念,建模的原则2.传递函数3.系统的结构图和信号流图控制系统的微分方程[数学模型]描述控制系统变量（物理量）之间动态关系的数学表达式。常用的数学模型有微分方程、传递函数、结构图、信号流图、频率特性以及状态空间描述等。建立控制系统数学模型的方法有分析法和实验法。分析法：微分方程的编写应根据组成系统各元件工作过程中所遵循的物理定理来进行。例如：电路中的基尔霍夫电路定理，力学中的牛顿定理，热力学中的热力学定理等。实验法：即人为地给系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当地数学模型逼近，这种方

2、法又成为系统辨识，现在成为一门独立学科分支。本节讨论用分析法建立系统的数学模型。2-1傅里叶变换和拉普拉斯变换一.复习拉氏变换及其性质1.定义stX(s)x(t)edt0记X(s)=L[x(t)]2.进行拉氏变换的条件1)t0，x(t)=0；当t0，x(t)是分段连续；2)当t充分大后满足不等式x(t)Mect，M，c是常数。3.性质和定理1)线性性质L[ax1(t)+bx2(t)]=aX1(s)+bX2(s)2)微分定理dx(t)LsX(s)x(0)dt2dx(t)2L2sX(s)sx(0)

3、x(0)dt若x(0)x(0)0,则dx(t)2dx(t)2LsX(s)L2sX(s)dtdtndx(t)nLnsX(s)dt3)积分定律11(1)(0)Lx(t)dtX(s)xssX（-1）(0)是∫x(t)dt在t=0的值。同理11(1)1(2)Lx(t)dtX(s)x(0)x(0)22sss若x1(0)=x2(0)=…=0，x(t)各重积分在t=0的值为0时，11LxtdtXsLxtdt2Xsss1Lx

4、tdtXsnsn4)终值定理若x(t)及其一阶导数都是可拉氏变换的，limx(t)存在，并且sX(s)除原点为单极点外，在jω轴上及其右半平面内应没有其它极点，则函数x(t)的终值为：limx(t)limsX(s)ts05)初值定理如果x(t)及其一阶导数是可拉氏变换的，并且limsX(s)存在，则sx(0)limsX(s)s6)位移定理L[x(t)1(t)]=esX(s)L[eatx(t)]=X(s+a)7)相似定理（时标变换）tLxaX(as)

5、a8)卷积定理tX(s)X(s)Lx(t)x()d121204.举例（课本31页表2-2和2-3要求大家自己能推出）例2-3求单位阶跃函数x(t)=1(t)的拉氏变换。st1st1解：X(s)Lx(t)edte0s0s例2-4求单位斜坡函数x(t)=t的拉氏变换。解：stX(s)Lx(t)tedt0tst1st1eedts00ss2X(s)LtL1(t)dt11(1)1L1(t)1(0)2sss例2-5求正弦函数x(t)=sinω

6、t的拉氏变换。解：jtjteesint2jjtjteestXsedt02j1112jsjsjsL[cost]22s22sL[(t)]1以上几个函数是比较常用的，还有一些常用函数的拉氏变换可查表求得。例2-6求函数x(t)的拉氏变换。A0tt0x(t)0t0,tt0x(t)2x(t)x1(t)+tAA00tttA0t00解：x(t)=x1(t)+x2(t)=A1(t)A1(tt0)AAt0sAt0sX(s)e(1e)sss例2-7

7、求eat的拉氏变换。11解:atst(as)tX(s)eedteas0sa0at1X(s)L1(t)esa例2-8求e0.2t的拉氏变换。解：tt15Le0.2Le5s15s151例2-9若Lx(t)，求x(0)，x()。sa解：sx(0)limsX(s)lim1sssasx()limsX(s)lim0s0s0sa二.复习拉氏反变换1.定义由象函数X(s)求原函数x(t)1j1stx(t)LX(s)X(s)edt(t0)

8、2jj2.求拉氏反变换的方法①根据定义，用留数定理计算上式的积分值②查表法③部分分式法一般，象函数X(s)是复变量s的有理代数公式，即mm1N(s)bsbsbs