专题-圆锥曲线中与最值与范围问题

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1、高三数学专题复习圆锥曲线中的最值问题和范围的求解策略最值问题是圆锥曲线中的典型问题，它是教学的重点也是历年高考的热点。解决这类问题不仅要紧紧把握圆锥曲线的定义，而且要善于综合应用代数、平几、三角等相关知识。以下从五个方面予以阐述。一．求距离的最值或范围：例1.设AB为抛物线y=x2的一条弦，若AB=4，则AB的中点M到直线y+1=0的最短距离为，解析：抛物线y=x2的焦点为F（0，），准线为y=，过A、B、M准线y=的垂线，垂足分别是A1、B1、M1，则所求的距离d=MM1+=(AA1+BB1)+=(AF+BF)+≥AB+=×4+=,当且仅当弦AB过焦点F时，d

2、取最小值，评注：灵活运用抛物线的定义和性质，结合平面几何的相关知识，使解题简洁明快，得心应手。练习：1、(2008海南、宁夏理)已知点P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q（2，－1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（A）A.（，－1）B.（，1）C.（1，2）D.（1，－2）2、（2008安徽文）设椭圆其相应于焦点的准线方程为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知过点倾斜角为的直线交椭圆于两点，求证：;（Ⅲ）过点作两条互相垂直的直线分别交椭圆于和,求的最小值解：（1）由题意得：椭圆的方程为(2)方法一：由（1）知是椭圆的左焦点，离心率设为椭

3、圆的左准线。则作，与轴交于点H(如图)点A在椭圆上资料同理。方法二：当时，记，则将其代入方程得设，则是此二次方程的两个根.................(1)代入（1）式得........................(2)当时，仍满足（2）式。（3）设直线的倾斜角为，由于由（2）可得，yO...Mx.当时，取得最小值3、我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”，其中，，．如图，设点，，是相应椭圆的焦点，，和，是“果圆”与，轴的交点，是线段的中点．(1)若是边长为1的等边三角形，求该“果圆”的方程；资料（2）设是“果圆”的半椭圆上任意一点．求证：当取得最

4、小值时，在点或处；（3）若是“果圆”上任意一点，求取得最小值时点的横坐标．解：（1），，于是，所求“果圆”方程为，．（2）设，则，，的最小值只能在或处取到．即当取得最小值时，在点或处．（3），且和同时位于“果圆”的半椭圆和半椭圆上，所以，由（2）知，只需研究位于“果圆”的半椭圆上的情形即可．．当，即时，的最小值在时取到，此时的横坐标是．当，即时，由于在时是递减的，的最小值在时取到，此时的横坐标是．综上所述，若，当取得最小值时，点的横坐标是；若，当取得最小值时，点的横坐标是或．4、已知P点在圆x2+(y-2)2=1上移动，Q点在椭圆上移动,试求

5、PQ

6、的最大值。解

7、：故先让Q点在椭圆上固定，显然当PQ通过圆心O1时

8、PQ

9、最大，因此要求

10、PQ

11、的最大值，只要求

12、O1Q

13、的最大值.设Q(x，y)，则

14、O1Q

15、2=x2+(y-4)2①因Q在椭圆上,则x2=9(1-y2)②资料将②代入①得

16、O1Q

17、2=9(1-y2)+(y-4)2因为Q在椭圆上移动，所以-1£y£1，故当时，此时二．求角的最值例2．M，N分别是椭圆的左、右焦点，l是椭圆的一条准线，点P在l上，则∠MPN的最大值是.解析：不妨设l为椭圆的右准线，其方程是，点，直线PM和PN倾斜角分别为.∵∴于是∵∴即∠MPN的最大值为.评注：审题时要注意把握∠MPN与PM和PN的

18、倾斜角之间的内在联系.练习：1、已知椭圆的一个焦点为F1(0,-2)，对应的准线方程为，且离心率e满足：成等差数列。（1）求椭圆方程；（2）是否存在直线l，使l与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN恰被直线平分，若存在，求出l的倾斜角的范围；若不存在，请说明理由。（1）解：依题意e，∴a＝3，c＝2，b＝1，又F1(0，－2)，对应的准线方程为∴椭圆中心在原点，所求方程为(2)假设存在直线l，依题意l交椭圆所得弦MN被平分∴直线l的斜率存在。设直线l：y＝kx＋m由消去y，整理得(k2＋9)x2＋2kmx＋m2－9＝0∵l与椭圆交于不同的两点M、N，∴Δ＝4k2

19、m2－4(k2＋9)(m2－9)＞0即m2－k2－9＜0①资料设M(x1,y1),N(x2,y2)②把②代入①式中得，∴k＞或k＜－∴直线l倾斜角三、求几何特征量代数和的最值例3.点M和F分别是椭圆上的动点和右焦点，定点B(2,2).⑴求

20、MF

21、+

22、MB

23、的最小值.⑵求

24、MF

25、+

26、MB

27、的最小值.解析：易知椭圆右焦点为F(4,0)，左焦点F′(-4,0)，离心率e=，准线方程x=±.⑴

28、MF

29、+

30、MB

31、=10―

32、MF′

33、+

34、MB

35、=10―（

36、MF′

37、―

38、MB

39、）≥10―

40、F′B

41、=10―2.故当M，B，F′三点共线时，

42、MF

43、+

44、MB

45、取最小值10―2.⑵过动点

46、M作右准线x=的垂线，垂