第2章数学模型new

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1、第2章控制系统的数学模型电气信息学科世界著名学者詹姆斯·克拉克·麦克斯韦（JamesClerkMaxwell，1831～1879）麦克斯韦是19世纪伟大的英国物理学家、数学家．麦克斯韦是第一个对反馈控制系统的稳定性进行系统分析并发表论文的人．在他1868年的论文“论调节器”中，推导出了调节器的微分方程，并在平衡点附近进行线性化处理，指出线性定常系统的稳定性取决于特征方程的根是否均具有负实部，他是第一位利用特征方程的根来判断系统稳定性的人．麦氏在论文中对三阶微分方程描述的homson’sgovernor,Jenkin’

2、sgovernor，以及具有五阶微分方程的Maxwell’sgovernor进行了研究，并给出了系统的稳定性条件．麦克斯韦的工作开创了控制理论研究的先河．1831年11月13日麦克斯韦生于苏格兰的爱丁堡，自幼聪颖，父亲是个知识渊博的律师，使麦克斯韦从小受到良好的教育．10岁时进入爱丁堡中学学习，14岁就在爱丁堡皇家学会会刊上发表了一篇关于二次曲线作图问题的论文，已显露出出众的才华．1847年进入爱丁堡大学学习数学和物理．1850年转入剑桥大学三一学院数学系学习，1854年以第二名的成绩获史密斯奖学金，毕业留校任职两年

3、．1856年在苏格兰阿伯丁的马里沙耳任自然哲学教授．1860年到伦敦国王学院任自然哲学和天文学教授．1861年被选为伦敦皇家学会会员．1865年春辞去教职回到家乡系统地总结他的关于电磁学的研究成果，完成了电磁场理论的经典巨著《论电和磁》，并于1873年出版，1871年受聘为剑桥大学新设立的卡文迪什试验物理学教授，负责筹建著名的卡文迪什实验室，1874年建成后担任这个实验室的第一任主任，直到1879年11月5日在剑桥逝世．麦克斯韦主要从事电磁理论、分子物理学、统计物理学、光学、力学、弹性理论方面的研究．尤其是他建立的电

4、磁场理论，将电学、磁学、光学统一起来，是19世纪物理学发展的最光辉的成果，是科学史上最伟大的综合之一．他预言了电磁波的存在．这种理论预见后来得到了充分的实验验证．他为物理学树起了一座丰碑．造福于人类的无线电技术，就是以电磁场理论为基础发展起来的．2.1引言在控制系统的分析和设计中，建立系统的数学模型是相当重要的．数学模型就是描述系统动态行为的一个数学表达式，它能够精确地或至少相当好地表示系统的动态特性．建立数学模型的方法一般有两种，一种是解析法，另一种是实验法．解析法是以系统所遵循的物理或化学机理规律列写，而实验法是

5、人为地对被控过程加入测试信号，测量系统的响应，并用适当数学模型和方法逼近，又称系统辨识法．应当指出，对于给定的系统，数学模型的形式不是唯一的，一个系统可以用不同形式的数学模型表示．系统的时域数学模型有微分方程、差分方程和状态变量方程；利用拉普拉斯变换和傅里叶变换，可以将时域模型转换为频域模型，系统的频域数学模型有传递函数、方框图、频率特性、脉冲传递函数等．本章主要研究用解析法建立一些物理系统的微分方程、状态变量方程、传递函数、方框图和信号流图等数学模型，以及各模型之间的相互关系．本章最后，我们介绍了利用MATLAB工

6、具箱中的控制包建立一些线性系统的传递函数数学模型的例子．2.2控制系统的时域数学模型2.2.1微分方程与状态变量数学模型有许多系统，不管它们是机械的、电气的、热力的还是化学的，其动态特性都可以用微分方程或状态变量模型来描述．现举例说明控制系统中常用的电气电路，机械系统等的微分方程和状态变量数学模型的列写．例2.1如图2.1所示的电路系统．由电阻R、电感L和电容C组成的无源串联网络，试列写以ut()为输入量，ut()为输出量的电路系统的微分方程数学模型．ioLRut()it()Cuto()i图2.1RLC网络解设回路电

7、流为i，由电路理论中的基尔霍夫定律得：duoCi（2.1）dtdiLuRiu（2.2）oidt消去中间变量i，得到描述该电路系统输入输出关系的二阶线性常微分方程：2duduooLCRCuu（2.3）2oidtdt注意，通常微分方程数学模型都是将激励输入变量写在方程的右边，而将响应输出变量写在方程'的左边．由线性定常微分方程的解知道，如果已知初值u(0)和u(0)，以及输入激励信号u，则该ooi系统微分方程就有惟一解．状态向量指的是能够完全描述系统动态行为的一组最小变量，该向量中的每一个元称为状态变量，T

8、状态列向量表为x[,,,]xxx，状态向量的维数为n．所谓的完全描述指只要知道了在tt时12n0的一组变量初值x()t和t≥t时的输入量u，就能够完全确定系统在任何时刻t≥t时的状态行为000x()t．所谓的最小指线性无关的一组状态变量，即减少其中的一个变量就会破坏它们对系统行为表征的完全性，而增加一个变量将不增加行为表征的信息量．状态变