从调和点列到调和四边形

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1、万方数据2010年第7期15从调和点列到调和四边形武炳杰(复旦大学数学科学学院2009级，200433)中图分类号：0123．1文献标识码：A文章编号：1005—6416(2010)07—0015—04定义l如果A、C、B、D依次为直线上的四个点，满足历CA=一面DA(有向线段)，则称(A、B，C、D)为调和点列．如果不在这条直线上有一点X，则称X(ABCD)(包含XA、XB、XC、XD这四条直线)为调和线束当且仅当(A、占，C、D)为调和点列．特别的，若C为AB的中点，则可以认为D是无穷远点．引理1对于任意一条直线截一个线束于四点，则这四点调和

2、当且仅当此线束是调和的．引理2在△ABC中，x、y、Z分别为BC、CA、AB上一点，YZ交BC的延长线于点x’，则(B、x，C、x7)为调和点列当且仅当朋、BY、CZ三线共点．引理3A、C、B、D依次分别为直线上的四个点，则以下两个命题成立时，第三个命题即能成立．命题1(A、曰，C、D)为调和点列．命题2XC为／_AXB的内角平分线．命题3XC上肋．定义2在平面上取定一个以0为圆心、r为半径的圆．对于不同于0的任一点P，作一直线Z通过P的反演像P’(即0、P、P’三点共线，且OP·OP’=r2)且垂直于射线OP．则称直线Z为点P的极线，P为直线z

3、的极点．性质1若点A在占的极线上，则点B在A的极线上．收稿日期：2009—12—28惨回日期：2010一05—24性质2若点P在00之外，过P作00的两条切线与00切于点M、Ⅳ，则MN是P的极线．性质3若过00外一点P作一直线与00交于点R、S，线段RS与P的极线交于点Q，则(P、S，Q、R)为调和点列．性质4假设A、B、C、D是反演圆上四点，AB和CD(或其延长线)交于点P，AC和no(或其延长线)交于点Q，AD和BC(或其延长线)交于点R，则点P的极线为衄．同理，点尺的极线为PQ．于是，点Q的极线为PR．本文运用配极与调和点列的性质，给出一些

4、最新国内外数学竞赛试题的另解．例1已知PA、PB是由Go外一点P引出的两条切线，肘、Ⅳ分别为线段AP、AB的中点，延长MN交00于点C，点Ⅳ在M与C之间，PC交00于点D，延长ND交PB于点Q．证明：四边形MNQP为菱形．【lo(2007，泰国数学奥林匹克)证明如图1，由于PA、PB为O0的切线，故AB为点P对00的极线-图1设PC交AB于点E．故由配极性质3知(P、E，D、C)为调和点列．由于MN／／PB，以J7v为透视中心，由(P、E，D、C)为调和点列可以得到(P、B，Q、∞)为调和点列(注：∞表示无穷远点)．万方数据16中等数学所以，Q为

5、PB的中点．而尸B=PA，M、N、Q为PA、AB、PB的中点，故四边形MNQP为菱形．例2已知00外一点X，由X向00引两条切线，切点分别为A、B，过点x作直线，与00交于两点C、D，且满足cA上BD．若“与BD交于点F、CD与AB交于点G，BD与GX的中垂线交于点Ⅳ，证明：X、F、G、日四点共圆．[2】(第15届日本数学奥林匹克(2005))证明由配极性质3可知(X、G，D、C)为调和点列，而cA_LBD，故由引理3得ZGFD=ZDFX．如图2，设△卯X的外接圆与BF交于点日7．则GH’=XH7，即点日’在GX的中垂线上．从而，H7=H．因此，

6、X、F、G、H四点共圆．图2例3设E、F分别为△ABC内切圆o，与边AC、AB的切点，M为BC的中点，AM与EF交于点J『＼r，以BC为直径的oM分别交B，与a于点X、y．证明：丝一丝NY‘’AB’(2007，罗马尼亚国家队选拔考试)证明如图3，过点A作BC的平行线与EF交于点Z，BC与EF交于点zZA图3首先证明：点x、l，在直线EF上．不妨设肼与EF交于点X’．’由于△BFI丝△BDI，对称地得到么FXB=么DXB．由引理2知(日、C，D、r)为调和点列，再由引理3知BX’J_CX’，故x7即为O肘上的点X．同理，点y也在直线EF上．其次证明

7、：Ⅳ、D、，三点共线．由于(B、C，M、∞)为调和点列，由配极性质l，以点A为透视中心知(Z、N，F、E)为调和点列，故由配极性质3知点JI、r在Z关于O，的极线上．而点Ⅳ也在A关于o，的极线上，由配极性质1知，AZ为点』＼r关于o，的极线，故Mj-AZ．从而，Ⅳ，上BC．所以，Ⅳ、D、，三点共线．由引理2知(T、D，C、B)为调和点列，且Ⅳ，上BC，由极线的定义知，M为点r关于O肘的极线，从而，由配极性质3知(r、Ⅳ，X、y)为调和点列．因为M上BC，所以，由引理3知￡YDN=[XDN．由角平分线定理得NXXDsin么DYXNY—DY—sin么

8、DXY’另一方面，1÷么ABC=么DBI=么CYX=÷么DYX，二士usin么DYXsin么ABCAC双sin么DXY—sin么ACB—