工程随机过程_4_平稳过程

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1、第四章平稳过程CollegeofScience,HohaiUniversityStochasticProcesses定义设{X(t)，tT}为一随机过程，若n1，t1,t2,,tn(tiT,i=1,2,,n)，，当ti+T,i=1,2,,n时均有F(x1,x2,,xn;t1,t2,,tn)P{X(t1)x1,X(t2)x2，,X(tn)xn}F(x1,x2,,xn;t1,t2,,tn)P{X(t1)x1,X(t2)x2,,X

2、(tn)xn}称{X(t)，tT}为严平稳过程。CollegeofScience,HohaiUniversityStochasticProcesses若随机过程{X(t)，tT}的一、二阶矩存在，且（1）均值m(t)=E[X(t)]=m为常数；（2）相关函数R(t,t+)=E[X(t)X(t+)]=B()与t无关。称{X(t)，tT}为(宽)(弱)平稳过程。CollegeofScience,HohaiUniversityStochasticProcesses注意：（1）严平稳过程不一定是宽平

3、稳过程。因为严平稳过程不一定存在一、二阶矩，若严平稳过程存在一、二阶矩，则严平稳过程一定是宽平稳过程。（2）宽平稳过程不一定是严平稳过程。（3）对于正态过程，宽平稳过程与严平稳过程等价。CollegeofScience,HohaiUniversityStochasticProcesses例设{X(t),tT}是相互独立的同分布的随机变量序列，其中T={0,1,2,}，且均值E[X(t)]=0，方差D[X(t)]=1。讨论此随机过程的平稳性。CollegeofScience,HohaiUniver

4、sityStochasticProcesses例随机过程X(t)=Acost+Bsint，0t1，其中为常数，A、B为相互独立的随机变量，且E(A)=E(B)=0，E(A2)=E(B2)=2。试判断{X(t)，0t1}是否为平稳过程？CollegeofScience,HohaiUniversityStochasticProcesses例设S(t)为一个周期为T的周期实可积函数，X~U(0,T)，令随机相位周期过程X(t)=S(t+X)，tR。试讨论X(t)的平稳性。CollegeofScie

5、nce,HohaiUniversityStochasticProcesses例随机电报信号在电报信号传输中，信号是由不同的电流符号c,c给出，且对任意的t有P{X(t)=c}=P{X(t)=c}=0.5，而电流的发送又有一个任意的持续时间，电流变换符号的时间是随机的。设X(t)在[0,t)内的变号次数N(t)是强度为的Poisson过程。试讨论{X(t),t0}的平稳性。CollegeofScience,HohaiUniversityStochasticProcesses自相关函数的性质B()R

6、(t,t)E[X(t)X(t)]2（1）B(0)E[X(t)]0;（2）

7、B()

8、B(0);（3）B()B();（4）B()具有非负定性;（5）B()在(,)连续B()在0连续；(6)周期平稳过程的相关函数必为周期函数，且与随机过程有相同的周期。CollegeofScience,HohaiUniversityStochasticProcesses二阶矩过程若随机过程{X(t),tT}对每个tT，X(t)的均值和方差都存在，则称X(t)为二阶矩过程。定理若随机

9、过程{X(t),tT}为二阶矩过程，则其协方差函数和相关函数均存在。定理设二阶矩过程{X(t),tT}的相关函数为R(t1,t2)，则t1,t2T有R(t1,t2)R(t2,t1)----共轭对称性（Hermite性）CollegeofScience,HohaiUniversityStochasticProcesses定理二阶矩过程{X(t),tT}的相关函数R(t1,t2)具有非负定性。即对任意有限个t1,t2,,tnT及任意的n个复数1,2,,n有nnR(ti,tj)

10、ij0i1j1CollegeofScience,HohaiUniversityStochasticProcesses定理若实二阶矩过程{X(t),tT}对任意的t1