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《高等代数教案(北大版)第九章 欧式空间》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第九章Euclid空间Euclid空间是定义了内积的实线性空间，在线性空间中，向量间的基本运算只限于线性运算，而几何空间作为具体模型，还有很多性质没有推广到线性空间中来。把几何空间中的长度、夹角等度量概念引入线性空间，就成了建立Euclid空间的一个基本目的，其中内积的概念起了关键作用，它使得Euclid空间具有更丰富的几何内容。Euclid空间的理论在解析几何等数学分支和涉及正交变换的应用学科中都具有广泛的应用。教学目的：为解决用正交变换把二次型化为标准形问题，必须在线性空间的基础上引入度量，建立Eulicd空间。通过本章的学习，让学生了解并领会Eulic
2、d空间的定义及基本性质、内积的定义、标准正交基、同构正交矩阵、正交变换、子空间、正交补的概念，掌握标准正交基的求法、无关向量组扩充为标准正交基的Schmidt正交化方法、同构的充要条件、正交矩阵的性质和判定方法、正交补的存在唯一性和实对称阵正交相似标准对角矩阵的求法。教学重点：Eulicd空间的基本概念、度量矩阵、标准正交基、正交矩阵、实对称矩阵的标准形。教学难点：正交变换、对称变换和正交子空间。教学方法与手段：1.理论课教学以讲授为主，部分介绍性内容用多媒体。2．习题课以多媒体教学为主。教学内容：§1定义与基本性质在线性空间中，向量之间的基本运算只有加法和
3、数量乘法，统称为线性运算，但变量性质，如：长度、夹角等必须引入度量的概念.定义1设V为实数域R上一线性空间，在V上定义了一个二元实函数，称为内积，记作(α,β),它具有以下性质：1)(α,β)=(β,α)2)(kα,β)=k(α,β)3)(α+β,γ)=(α,γ)+(β,γ)4)(α,α)≥0，当且仅当α=0,(α,α)=0这样的线性空间V称为欧氏空间。n例1线性空间R中，定义内积：n∀α,β,γ∈R,α=(a1,a2,…,an),β=(b1,b2,…,bn),γ=(c1,c2,…,cn),TT(α,β)=(a1b1+a2b2+…+anbn=(a1,a2,…
4、,an)(b1,b2,…,bn)=αβ。n因此R就成为一个欧氏空间。例2线性空间RxRxCab[],,,[][]，定义内积，a,b∈Rnb∀∈f(),(),()xgxhxRxRx[]([]n),()fxgx(),()=∫afxgxdx()()则((fxgx),())((),()),=gxfxbb((),())kfxgx==∫∫kfxgxdx()()kfxgxdx()()aabbb(()(),())fxhxgx+=∫∫(()()())fxhxgxdx=fxgxdx()()+∫hxgxdx()()aaa=+((),())((),())fxgxhxgxb2((),
5、())fxfx=∫fxdx()≥=0,fx()0⇔()fxfx(),()0=anxn例3在R=={AaaR()∈}，定义内积ijijnxnnnxn∀∈A,,,BR()AB=∑abijijij,1=nxn则R关于内积，构成欧氏空间.二、性质1．()α,,kkβα=(β)2．()α,,βγαβαγ+=()++()证明由()α,,ββ=(α)得到：(α,,kkkββ)===(αβ)(αα)(kβ)()α,,βγ+=+(βγαβαγααβαγ)()=,+(,)=(,)+(,)3．∀∈ξV，则()ξη,0=⇔=η0“⇒”取ξ=η，则()ηη，=00⇒=η“⇐”若η=0
6、,则()ξη，====(ξ,0)(ξξ,0)0,(ξξ)04．ξ,,,,,??ξηη为V中任意向量，aab,,,,,??b为R中任意数则11rs11rs⎛⎞rsrs⎜⎟∑∑∑∑abiiξ,,jjηξ=aijb()iηj⎝⎠ij==11i=1j=1三、长度、夹角及其它定义2非负实数(α，,α)称为向量α的长度，记为α=()αα，,显然：αα=⇔=00。2kkα====()αα,,,kk()ααk()ααkα若
7、α
8、=1——称α为单位向量1∀∈αV,α一定为单位向量，——称为把向量α单位化.αCauchy不等式：设V为一欧氏空间，∀α,β∈V,则
9、(α,β)
10、≤
11、
12、α
13、
14、β
15、,当且仅当α,β线性相关时，等式成立.证明1)当α,β线性相关时，不妨设β=kα,从而
16、(α,β)
17、=
18、(α,kα)
19、=
20、k
21、(α,α)=
22、k
23、
24、α
25、
26、α
27、=
28、α
29、
30、β
31、2)当α,β线性无关时，对任意t∈R,α+tβ≠0,从而20<(α+tβ,α+tβ)=(α,α)+2t(α,β)+t(β,β)2根据二次不等式的性质，有Δ=4(α,β)−4(α,α)(β,β)<0,即
32、(α,β)
33、<
34、α
35、
36、β
37、。因此对∀α,β∈V,则
38、(α,β)
39、≤
40、α
41、
42、β
43、。如果
44、(α,β)
45、=
46、α
47、
48、β
49、,而且α,β线性无关，从而根据证明2)有
50、(α,β)
51、<
52、α
53、
54、β
55、
56、，矛盾，故α,β线性相关。定义对于非零向量α,β，α
