高等代数课件(北大版)第九章欧式空间§

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1、§2标准正交基§3同构§4正交变换§1定义与基本性质§6对称矩阵的标准形§8酉空间介绍§7向量到子空间的距离─最小二乘法小结与习题第九章欧氏空间§5子空间2021/7/19数学与计算科学学院§9.6对称矩阵的标准形一、实对称矩阵的一些性质二、对称变换三、实对称矩阵可正交相似于实对角矩阵四、实二次型的主轴问题数学与计算科学学院一、实对称矩阵的一些性质引理1设A是实对称矩阵，则A的特征值皆为实数．证：设是A的任意一个特征值，则有非零向量满足数学与计算科学学院其中为的共轭复数，令又由A实对称，有数学与

2、计算科学学院由于　是非零复向量，必有故考察等式，数学与计算科学学院引理2设A是实对称矩阵，在n维欧氏空间　上定义一个线性变换　如下：则对任意　　　　　有或数学与计算科学学院证：取的一组标准正交基，则　在基　下的矩阵为A，即任取数学与计算科学学院即于是又　　　　是标准正交基，数学与计算科学学院即有又注意到在　中二、对称变换1．定义则称　为对称变换．设　为欧氏空间V中的线性变换，如果满足数学与计算科学学院1）n维欧氏空间V的对称变换与n级实对称矩阵在标准正交基下是相互确定的：2．基本性质①实对称矩阵

3、可确定一个对称变换．一组标准正交基．事实上，设为V的定义V的线性变换　：则　即为V的对称变换．数学与计算科学学院②对称变换在标准正交基下的矩阵是实对称矩阵．为V的一组标准正交基，事实上，设　为n维欧氏空间V上的对称变换，为在这组基下的矩阵，即或数学与计算科学学院于是即所以A为对称矩阵．由　是对称变换，有数学与计算科学学院2）（引理3）对称变换的不变子空间的正交补也是它的不变子空间．对任取即证明：设　是对称变换，W为　的不变子空间．要证即证由W是　子空间，有因此故　也为　的不变子空间．数学与计算科

4、学学院1．(引理4)实对称矩阵属于不同特征值的特征向量分别是属于的特征向量．则三、实对称矩阵的正交相似对角化是正交的．正交基下的矩阵，证：设实对称矩阵A为　上对称变换　的在标准是A的两个不同特征值，由数学与计算科学学院又即正交．(定理7)对　　　　　　　总有正交矩阵T，使有即２．数学与计算科学学院证：设A为　上对称变换　在标准正交基下的矩阵．由实对称矩阵和对称变换互相确定的关系，只需证有n个特征向量作成的标准正交基即可．n=1时，结论是显然的．对　的维数n用归纳法．有一单位特征向量，其相应的特征

5、值为，即假设n－1时结论成立，对设其上的对称变换数学与计算科学学院设子空间显然W是　子空间，则也是子空间，且又对　　　　　　　有所以　　是　上的对称变换．由归纳假设知有n－1个特征向量构成的一组标准正交基．数学与计算科学学院从而　　　　　　　就是　的一组标准正交基，又都是的特征向量．即结论成立．3．实对称矩阵正交相似实对角矩阵步骤设(i)求出A的所有不同的特征值：其重数必满足;(ii)对每个，解齐次线性方程组数学与计算科学学院求出它的一个基础解系：它是A的属于特征值的特征子空间　的一组基．正交基

6、把它们按正交化过程化成　的一组标准(iii)因为互不相同，且就是V的一组标准正交基．所以数学与计算科学学院则T是正交矩阵，且将的分量依次作矩阵T的第1，2，…，n列，使　　　　　　为对角形．例1．设求一正交矩阵T使成对角形．数学与计算科学学院解：先求A的特征值．A的特征值为（三重）,数学与计算科学学院其次求属于的特征向量，即求解方程组得其基础解数学与计算科学学院把它正交化，得再单位化，得数学与计算科学学院这是特征值(三重)的三个单位正交特征向量，也即是特征子空间　的一组标准正交基．数学与计算科学

7、学院再求属于　　　的特征向量，即解方程组得其基础解数学与计算科学学院再单位化得这样　　　　　构成　的一组标准正交基，它们都是A的特征向量，正交矩阵数学与计算科学学院使得注：成立的正交矩阵不是唯一的．①对于实对称矩阵A，使而且对于正交矩阵T,还可进一步要求数学与计算科学学院事实上，如果由上述方法求得的正交矩阵T取正交矩阵则是正交矩阵且同时有数学与计算科学学院②如果不计较主对角线上元素的排列的次序，与实对称矩阵A正交相似的对角矩阵是唯一确定的．③因为正交相似的矩阵也是互相合同的，所以可用实对称矩阵的

8、特征值的性质刻画其正定性：设　　为实对称矩阵A的所有特征值(i)A为正定的(ii)A为半正定的(iii)A为负定（半负定）的数学与计算科学学院(iv)A为不定的且④实对称矩阵A的正、负惯性指数分别为正、负特特征值的个数（重根按重数计）．n－秩(A)是0为A的特征值的重数.数学与计算科学学院1．解析几何中主轴问题将上有心二次曲线或　上有心二次曲面通过坐标的旋转化成标准形，这个变换的矩阵是正交矩阵.四、实二次型的主轴问题2．任意n元实二次型的正交线性替换化标准形1）正交线性替换如果线性替换X=CY的