第二讲-能带论-近自由电子近似-final-2008

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1、能带理论能带理论的基本近似布洛赫定理布洛赫定理的证明中心方程近自由电子近似第13讲_布洛赫定理——能带理论能带理论的基本近似在自由电子模型中，金属中的传导电子被认为是独立的和自由的，电子和电子之间、电子和晶格离子之间的相互作用被忽略了。复杂的多相互作用的多体问题被简化成平均势场为零的单电子的量子运动。如果考虑晶格离子和电子形成的平均势场不为零，问题就复杂得多。第13讲_布洛赫定理——能带理论能带理论是目前研究固体中电子运动的一个主要理论基础。能带理论最初的成就是用量子力学阐明了晶体中电子运动的普遍性的特点。能带理论是一个近似的理论，在固体中存在大量的电子，他们的运动是

2、相互关联的，每个电子的运动都要受到其它电子运动的牵连，严格地解这种多电子系统显然是不可能的。能带理论的出发点是固体中的电子不再束缚于个别的原子，而是在整个固体中运动，称为共有化电子。为了解决多电子在不为零的平均势场中的复杂运动，使问题简化，通常考虑三个基本假设。第13讲_布洛赫定理——能带理论绝热近似考虑到原子核或离子实的质量比电子大得多，电子运动的速度比离子实快得多，在讨论传导电子运动时，可以认为离子是固定在瞬时位置上。这样多粒子的多体问题就简化为多电子的问题。单电子近似通常利用哈特里－福克自洽场方法，每个电子是在固定的离子势场和其它电子的平均势场中运动，多电子问题

3、就简化为单电子问题。单电子近似也称为哈特里－福克近似或自洽场近似。更精确的单电子理论是密度泛函理论。周期场近似价电子的等效势场——包括离子实的势场，其它价电子的平均势场以及考虑电子波函数反对称而带来的交换作用。所有离子势场和其它电子的平均势场被简化为周期性势场，不考虑晶格振动和晶体缺陷对周期场的破坏。把原子实偏离平衡位置的影响看成微扰。第13讲_布洛赫定理——能带理论薛定谔方程在绝热近似、单电子近似和周期场近似下，固体中电子运动就简化为单电子在周期性势场中的运动。在没有外加磁场和电场时，电子运动的薛定谔方程为：2=2KHrψ()=−[∇+V(r)]ψψ=E2mKKK晶

4、格周期性势场Vr()=+Vr(R)l其中R为晶格矢量，如果用a、a、a表示晶格的三个基l123矢，则Rll=+11al2a2+l3a3，其中l1、l2、l3为整数。——周期性势场中运动的电子通常称为布洛赫电子。第13讲_布洛赫定理——能带理论§4.1布洛赫定理K布洛赫定理——势场Vr()具有晶格周期性时，单电子的波函数满足薛定谔方程2=2KKK[−∇+Vr()]ψψ()r=E()r2m——方程的本征函数具有以下性质KKKKKik⋅Rl——布洛赫函数ψψ()rR+=e(r)nklnkKk为一倒格子空间矢量KKKRik⋅Rn——当平移晶格矢量n，波函数只增加了位相因子e—

5、—其中指数n称为能带指数，对于一个给定的k，可能有很多分属于不同能带的独立的本征态。第13讲_布洛赫定理——能带理论KKKKKik⋅Rl根据布洛赫定理ψψ()rR+=e(r)nklnkKKKKK−⋅ikRlψψ()re=+(rR)kklKKKKKKKKKik⋅⋅r−⋅+ik()rRlikr=+eeψ()rR=eu(r)klkKKKKK−⋅+ik()rRlur()=+eψ(rR)kklK——R可以是任意晶格矢量lKKKKik⋅r电子的波函数ψ()re=uk()r——布洛赫函数KKK晶格周期性函数ur()+=Ru(r)klk第13讲_布洛赫定理——能带理论K下面证明ur(

6、)为晶格周期性函数k由于R可以是任一晶格矢量，lKKKKK−⋅+ik()rRlur()=+eψ(rR)kklKKKKKKKK−⋅+ik()rRlm+Rur()+=Reψ(r+R+R)kmklmKKKK−⋅+ik()rRp=+erψ()R=u(r)kpk因此u(r)是以晶格矢量为周期的周期函数，kKKKur()+=Ru(r)nklnkKKKKik⋅r电子的波函数ψ()re=u()rk第13讲_布洛赫定理——能带理论*布洛赫定理的证明证明具有周期性势能的单电子运动的薛定谔方程的本征波函数具有如下性质：KKKKKik⋅Rlψψ()rR+=e(r)nklnk——引入平移算符，

7、证明平移算符与哈密顿算符对易，两者具有相同的本征函数——确定平移算符的本征值，最后给出电子波函数的形式对任一个布拉伐晶格矢量R，定义平移算符T，表示lRl将位矢r变到r+R的平移操作算符，l第13讲_布洛赫定理——能带理论*平移算符TR作用于任意函数fr()lTf()r=f(r+R)Rll*平移算符作用于周期性势场TV()r=V(r+R)=Vr()RllK*各平移算符之间对易对于任意函数fr()TTRlmRRf()r=+Tlf(rRm)=f()rR++lmRTTf()r=f(rR++R)TT=TTRRmlmlRRlmRmRl第13讲_布洛赫定理——能