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1、第六章理想流体动力学6-1平面不可压缩流体速度分布为Vx=4x+1；Vy=-4y.(1)该流动满足连续性方程否?(2)势函数φ、流函数ψ存在否?（3）求φ、ψ解：（1）由于，故该流动满足连续性方程（2）由ωz=()=＝0,故流动有势，势函数φ存在，由于该流动满足连续性方程，流函数ψ存在，.（3）因Vx=4x+1Vy==-=-4ydφ=dx+dy=Vxdx+Vydy=(4x+1)dx+(-4y)dyφ=dφ=dx+dy=Vxdx+Vydy=(4x+1)dx+(-4y)dy=2x2-2y2+xdψ=dx+dy=-Vydx+Vxdy=4ydx+(4x+1)dyψ=dψ=dx+dy=-Vydx+Vx
2、dy=4ydx+(4x+1)dy=4xy+y6-2平面不可压缩流体速度分布:Vx=x2-y2+x;Vy=-(2xy+y).(1)流动满足连续性方程否?(2)势函数φ、流函数ψ存在否?(3)求φ、ψ.解：（1）由于+=2x＋1－（2x＋1）＝0，故该流动满足连续性方程，流动存在.(2）由ωz=()=＝0,故流动有势，势函数φ存在，由于该流动满足连续性方程，流函数ψ也存在.6（3）因Vx===x2-y2+x,Vy==-=-(2xy+y).dφ=dx+dy=Vxdx+Vydy=(x2-y2+x)dx+(-(2xy+y).)dyφ=dφ=dx+dy=Vxdx+Vydy=(x2-y2+x)dx+(-(
3、2xy+y))dy=-xy2+(x2-y2)/2dψ=dx+dy=-Vydx+Vxdyψ=dψ=dx+dy=-Vydx+Vxdy=(2xy+y)dx+(x2-y2+x)dy=x2y+xy-y3/36-3平面不可压缩流体速度势函数φ=x2-y2-x,求流场上A(-1,-1),及B(2,2)点处的速度值及流函数值解:因Vx===2x-1，Vy＝，由于+＝0，该流动满足连续性方程，流函数ψ存在dψ=dx+dy=-Vydx+Vxdyψ=dψ=dx+dy=-Vydx+Vxdy=2ydx+(2x-1)dy=2xy-y在点(-1,-1)处Vx=-3;Vy=2;ψ=3在点(2,2)处Vx=3;Vy=-4;ψ
4、=66-4已知平面流动流函数ψ=x+y,计算其速度、加速度、线变形率εxx,εyy,求出速度势函数φ.解：因Vx===1Vy==-=-16dφ=dx+dy=Vxdx+Vydyφ=dφ=dx+dy=Vxdx+Vydy=dx+(-1)dy=x-yax=；ay=6-5一平面定常流动的流函数为试求速度分布，写出通过A（1，0），和B（2，）两点的流线方程.解：,平面上任一点处的速度矢量大小都为，与x和正向夹角都是。A点处流函数值为•，通过A点的流线方程为。同样可以求解出通过B点的流线方程也是。6-6平面不可压缩流体速度势函数φ=ax(x2-3y2),a<0,试确定流速及流函数,并求通过连接A(0,0
5、)及B(1,1)两点的连线的直线段的流体流量.解：因Vx==a(3x2-3y2)Vy==-=-6axydψ=dx+dy=-Vydx+Vxdy=6axydx+a(3x2-3y2)dyψ=dψ=dx+dy=-Vydx+Vxdy6=6axydx+(3x2-3y2)dy=3x2y-ay3在A(0,0)点ψA=0；B（1,1）点ψB=2a，q=ψA-ψB=-2a.6-7证明以下两流场是等同的，(Ⅰ)φ=x2+x-y2,(Ⅱ)ψ=2xy+y.证明:对(Ⅰ)φ=x2+x-y2Vx==2x+1Vy==-2y对(Ⅱ)ψ=2xy+yVx=2x+1Vy=-=-2y可见与代表同一流动.6-8已知两个点源布置在x轴上
6、相距为a的两点，第一个强度为2q的点源在原点，第二个强度为q的点源位于（a,0）处，求流动的速度分布（q0）。解:两个流动的势函数分别为及,合成流动的势函数为+,+)=(+)=6-9如图所示，平面上有一对等强度为的点涡，其方向相反，分别位于（0，h），（0，-h）两固定点处，同时平面上有一无穷远平行于x轴的来流，试求合成速度在原点的值。解:平面上无穷远平行于x轴的来流,上,下两点涡的势函数分别为，6,,因而平面流动的势函数为+,,+,将原点坐标(0,0)代入后可得,.6-10如图，将速度为的平行于x轴的均匀流和在原点强度为q的点源叠加，求叠加后流场中驻点位置。解:均匀流和在原点强度为q的点的
7、势函数分别为及,因而平面流动的势函数为+,,,令,得到,.6-11如图，将速度为的平行于x轴的均匀流和在原点强度为q的点源叠加，求叠加后流场中驻点位置,及经过驻点的流线方程.解:先计算流场中驻点位置.均匀流和在原点强度为q的点的势函数分别为及6,因而平面流动的势函数为+,,,令,得到,.此即流场中驻点位置.均匀流和在原点强度为q的点的流函数分别为,,因而平面流动的流函数为+,在驻点,因而经过驻点的流线方程为+
