数值分析讲稿2(黑白)

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1、第二章插值法§1引言•问题的提出在实际问题中常遇到这样的函数yf()x,其在某个区间ab,上是存在的。但是,通过观察测量或试验只能得到在ab,区间上有限个离散点x01,,,xxLn上的函数值yfii(),xi01n,,,L或者yf()x的函数表达式是已知的,但却很复杂而不便于计算,希望用一个简单的函数来描述它。•插值问题的数学提法:已知函数yf()x在n+1个点x01,,,xxLn上的函数值yfii()xi0,,,,1nL,求一个多项yPx()P()xyi0,,,,1nL式,使其满足ii。

2、即要求该多项式的函数曲线要经过yf()x上已知的这n+1个点xyxy00,,,,,,,11Lxynn同时在其它点xab,上估计误差为Rx()f()xPx()。f()xp()x§2.拉格朗日插值公式•2-1插值多项式的存在唯一性过n+1个点(,)xyin0,1,2,,L，作多项式函数iinP()xaaxLaxnn01可构造(n+1)×(n+1)线性方程组确定参数ainaaxLaxy;010n00naaxLaxy;011n11LaaxLaxyn;01nnnn要证

3、明插值多项式存在唯一，只要证明参数存在且唯一，即只要证明其系数行列式不为零即可。系数行列式为：2n1xxxL0002n1xxxL111Vxx(,,,)Lxnn01LLLLL2n1xxxLnnn此为范德蒙行列式。利用行列式性质可得ni1Vxxnni(,,,)01Lx(xxj)ij10由于ij时xx，故所有因子xxij0，ij于是Vxx(,,,)0Lxnn01即插值多项式存在唯一。2-2线性插值与抛物线插值一、线性插值（一次插值）1.问题的提出已知函数f()x在区间的端点xxkk,1上的函数值yfkk

4、()xyf,k1k()x1，求一个一次函数yPx1()使得yPxyPxk1()kk,11()k1。其几何意义是已知平面上两点xyxyk,,,,kk1k1求一条直线过该已知两点。p()xf()x2.插值函数和插值基函数由直线的点斜式公式可知：yyk1kP()xy(xx)1kkxxk1k把此式按照yk和yk1写成两项：xxxxk1kP1k()xyyk1（两点式），xxxxkk1k1kxxxx记k1klx(),lx()kk1xxxxkk1k1k并称它

5、们为一次插值基函数。该基函数的特点如下表：xxk1lx(),xxkkk1xxkk1lx()10xxkklx()lx01()k1k1xxk1k从而Pxylxylx1k()kk()1k1(),此形式称之为拉格朗日型插值多项式。其中,插值基函数与y,yx,xkk1无关，而由插值结点kk1所决定。一次插值多项式是插值基函数的线性组合,相应的组合系数是该点的函数值ykk,y1。二、二次插值多项式(抛物线插值)1.问题的提出已知函数yfx()在点xk1,,xxkk1上的函数值yfk1(x

6、k1),yfk(xyfk),k1(xk1).求一个次数不超过二次的多项式P2()x,使其满足Px()yPx,(),()yPxy.2k1k12kk2k1k1其几何意义为:已知平面上的三个点，xyk1,,k1xyk,,kxyk1,k1。求一个二次抛物线,使得该抛物线经过这三点。f()xp()x2.插值基本多项式（构造插值基函数）有三个插值结点xxxk1,,kk1,构造三个插值基本多项式，要求满足：(1)基本多项式为二次多项式；(2)它们的函数值满足下表：xxxk1kk1lx()100k

7、1lx()010klx()001k1因为lx0lxk1(),()kk1k10,故有lxk1()因子()xxxx(),而其已经是一个二次多项式,kk1仅相差一个常数倍,可设lxak1()(xxxxk)(k1),lx1()ax()xx()x1又因为k1k1，故k1kk1k11()xxxx()kk1得：al,(k1x)()xxxx()()xxxx()k1kk1k1k1kk1k1()xxxx()()xxxx()k1k1k1klx(),lx(

8、)同理kk1()xxxx()()xxxx()kk1kk1k1k1k1k3.拉格朗日型二次插值多项式由前述，拉格朗日型二次插值多项式P2()xyk1k1lx()ykklx()yk1k1lxPx(),()2是三个二次插值基函数多项式