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1、数值分析讲稿主讲教师：周富照适用对象：工科类研究生长沙理工大学2007年3月第一章绪论数值分析的研究对象数值分析研究的对象：各种数学问题求解的数值计算方法。就是研究用计算机解决数学问题的数值计算方法及其理论。包括方法的稳定性、收敛性及误差分析，还要根据计算机特点研究计算时间最省的计算方法。实际问题的解决过程：实际问题f数学问题f计算方法一上机实现f实际问题掌握误差的来源、衡量误差大小的一些标准、控制误差的一些原则一误差的来源与分类在工程和科学计算中，估计计算结果的精确度是很重要的。而影响精确度的是各种误弄。误并按照它们的來
2、源可分为以下四种：1.模型误差数学模型一般只能近似的描述实际问题，如匀速运动认为速度（近似地）为常数，匀加速运动认为速度为时间啲一次函数。在动力学中，若认为阻力R是速度v=xz（O的一次函数：RS，将“的高次项的影响略去，可得线性微分方程模型（见同济《高数》下册p.366）02.观测误差数学模型中包含的某些常数（时间，长度等）由于受仪器的限制观测结果不能绝对准确。如测量距离时为了减少测量误并，一般取两次往返测量的平均值。3.截断误差有些函数需要用无穷级数计算，计算时只能取前儿项。如sinx=x1…3!5!当兀充分小吋取si
3、nx~x,其误差
4、/?$匕丄.3!4.舍入误差在计算机上要把一些数字四舍五入后再计算如：V2-1.414,...因为我们主要是在已给数学模型的基础上研究计算方法的，所以只考虑后两种误差。二误差概念或误差的衡量标准绝对误差邙艮)、相对误差邙艮)和有效数字1.绝对误差设某量准确值为兀，近似值为X*,称"兀-兀*为近似值疋的绝对误差。简称为误差。在同一量的不同近似值中，
5、£(力
6、越小，X*的精确度越高。2.绝对误差限由于精确值兀实际上是不知道的，故绝对误差£也不能求出。在实际计算中，可根据情况事先估计出它的大小范围。即预先指定适
7、当小的正数£,使得e=x-x*
8、<££称为近似值X*的绝对误差限。有吋也用x=表示近似值的精确度或准确值的范围。例如，取厲的近似值为0=1.414,贝ije=72-tz=0.00021-,
9、e
10、<0.000303.相对误差绝对误差有时不足以表示近似值的好坏。例如，若有两个近似数x=100±1(m),%2=1000±l(m)其绝对误差限都是l(m),h=100(叫疋*=1000(m),与近似值本身比较，兀2*较精确.、口ex—x*x-x*lue=—==XXX*称S为近似值疋的相对误差.如以上问题中的兀1相对误差为1%
11、,疋为0.1%.相对误差越小者越精确.相对误差在误差分析屮更能反映出误差的特征.它无量纲,与所取单位无关.4.相对误差限和绝对误差一样,S也不能求出，可预先指定适当小的正数£「，使得&称为近似值兀*的相对误差限5.有效数字近似值的准确程度可用有效数字来描述.定义设兀*是兀的近似值，若卅的绝对误差限是它的某一位的半个单位，并且从该位到它的第一位非零数字共有料位，则用兀*近似尤是具有”位有效数字。相对误差与有效数字位数有关.有效数字位数越多，相对误差限越小.例1设347.0,34.70,0.005是经四舍五入得到的近似数，分别
12、求出它们的绝对•误差限和相对误差限.由此可得什么结论？解绝对误差限:0.05,0.005,0.0005.相对误差限:0.02%,0.02%,10%.例2下列各近似值的绝对误差度是0.0005,它们冇几位冇效数字。tz=-1.00031(4位)，b=0.042(2位)，c=-0.00032(0位)三误差传播设W=是可微的,X；是兀的近似值,/=/*("；,X；,•••,"：),则如)皿=£塑诗斗X：)/=1'!=1问题是：当e(x*)(i=1,2,・・・,〃)很小时，e(w*)是否很小？当r(x*)(z=1,2,•••,«)
13、很小时，£(«*)是否很小？卜•列公式很容易从对应公式求得：e(x±y)14、y
15、e(x)+x\e(y)9e(x/y)<[y\e(x)+
16、x
17、e(y)]/比Is(xy)18、+er(y)
19、,er(x/y)20、+er(y)
21、故可取£(x±y)=£(%)+£(y),E,.(x^y)=Er(x)+Er(y)9••-简单地说，两数之和(差)结果保留的小数位数与位数较少的加数相同，两数之积(商)保留的数字位数与有效数字较少的因数相同。但
22、其误差可能超过末位半个单位，这样保留的数除最后一位数字外都是有效数字。详细分析如下例。例2计算0.324x(-62.33)并分析误差，设因数都是四舍五入所得(计算结果只保留冇效数字)。解设x=0.324,y=-62.33,由d(xy)=ydx+xdy得£(xy)=
23、y
24、£(x)+
25、x
26、£(y).£(x)
