清华大学考研辅导班模拟试题(1)

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1、清华大学考研辅导班模拟试题清华大学知识产权侵权盗版必究清华大学考研辅导班数学单项模拟试题二清华知识产权盗版侵权必纠一、填空题（每4分，共42分）2221．函数f(x,y,z)=ln(x+y+z)在点A(1,0,-1)最大的方向导数是。222．曲面z=2x+y在任意一点(x,y,z)处的法向量为，与平面x+2y+z=0相平行的切平面方程为.22-x3．设y=3+x,y=3+x+e是某二阶线性非齐次微分方程的两个特解，且相应齐次12方程的一个解为y=x，则该微分方程的通解为。34．设D={(x,y)x+y£1}，则积分òò(x+y)ds=_______________D¥n2n5．幂级数åx的收敛

2、区间是。nnn=12+(-4)26．设f(x)是周期为2p的周期函数，它在区间(-p,p]上的表达式是f(x)=x+x，其a¥0Fourier级数为+å(ancosnx+bnsinnx)，2n=1a¥0则b3=；+å(ancosnp+bnsinnp)=。2n=1¥()n-1nx7．级数åe的收敛域为__________________n=0n228.设t>0，则f(t)=òò[1-cos(x+y)]ds是t的________阶无穷小量.x2+y2£t2x+y¶y9.函数y=y(x,z)由方程xyz=e所确定，则=________________¶x4210.设f(u)具有连续导数，且òf(u)

3、du=4，L为半圆周y=2x-x，起点为0()22A0,0，终点为B(2,0)则òf(x+y)(xdx+ydy)=___________________LAB2211.设S为平面x-2z=10含在柱面x+(y-6)=1内的部分，则òò(2z-x)dS=_____________________S212.微分方程y¢¢¢-2y¢¢+y¢=x+1有一个形如y=_____________________的特解.¥n2+113.级数å的和是_______n!n=0一．单项选择题（共16分）www.chinakaoyan.com清华考研辅导班授权中国考研网独家刊登未经许可不得转载清华大学考研辅导班模拟试

4、题清华大学知识产权侵权盗版必究axdy-bydx1.设C为正向闭曲线：x+y=2,ò=[]Cx+y(A)4(a+b);(B)8(a+b);(C)4(a-b);(D)8(a-b).®®®T2222．设r=(x,y,z),S:x+y+z=1外侧为正,则òòr×dS=[]S44(A)4p;(B)-4p;(C)p;(D)-p.332133.在曲线x=t,y=t,z=t的所有切线中，与平面x+2y+z=4平行的切线[]3(A)只有一条。(B)只有两条。(C)只有三条。(D)不存在。22x+ye4．设R>0，则二重积分I=òòds等于[]2221+xyx+y£Rx2+y2x2+y2x2+y2eee（A）4

5、òòds。（B）2òòds。（C）4òòds。（D）0.2221+xy2221+xy2221+xyx+y£Rx+y£Rx+y£Rx>0,y>0x>0x>0,y<0三．解答题（共70分）221.设S为曲面z=2-x+y(0£z£2)的上侧，计算222I=òò(y+x)dyÙdz+(z+y)dzÙdx+(x+z)dxÙdy。S2.将函数f(x)=arctan(x+1)在x=-1处展开成幂级数，并指出收敛域。2ìdydy2dyïcosy2+siny()=ïdxdxdx3．求解二阶微分方程的定解问题í。ïp1y(-1)=,y¢(-1)=ïî62124.设函数f(x,y)ÎC(R)，曲线积分òf(x,y

6、)dx+2xydy与路径无关，且L(t,1)(1,t)òf(x,y)dx+2xydy=òf(x,y)dx+2xydy对任意的t都成立，(0,0)(0,0)求函数f(x,y)的表达式。32225.设W={(x,y,z)ÎR-a-x-y£z£0,a>0}，S为W的边界外侧，ÙÙaxdydz+2(x+a)ydzdx计算òò1.2222S(x+y+z+1)www.chinakaoyan.com清华考研辅导班授权中国考研网独家刊登未经许可不得转载清华大学考研辅导班模拟试题清华大学知识产权侵权盗版必究ì1-ltï(1-e)l¹06．设函数f(t,l)=íl，讨论该函数的连续性与可微性。ïîtl=037.用

7、薄钢板制做一个容积为4(m)的有底无盖长方体箱子,如何取长方体箱子的长、宽、高的值，才能使得制作箱子所用的钢板面积最省?三.证明题（20分）1.设f(x)是正值连续函数，D为圆心在原点的单位圆，¶D为D的正向边界，证明：yx（1）òxf(y)dy-dx=ò-yf(x)dx+dy；f(x)f(y)¶D¶Dy（2）òxf(y)dy-dx³2p。清华大学f(x)¶D¥22222-nx+y2.设D={(x