2-非平稳随机过程

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1、第第第2章章章非平稳随机过程从本章起介绍计量经济学近20年来最新研究成果。如果把第1章内容称为经典计量经济学，那么将要介绍的内容则应该称为非经典计量经济学。从1974年开始计量经济学工作者渐渐意识到当用含有单位根的时间序列建立经典计量经济模型时会出现一些问题，这就是虚假回归。应该知道通过经济数据了解经济变量的变化规律有时是存在相当大的局限性的，所以在建立模型时，必须依靠经济理论，同时对参数进行假设检验。实际上，只有经济理论是不够的。比如处于调整中的经济变量，哪些是它的外生变量，哪些是它的无关变量，单凭经济理论就很难判别清楚。所以当研究经济变量参数变化规律时，常常采

2、用另外一种方法，即依靠统计理论的方法，通过设计具有某种特征的能生成数据的随机过程或数据生成系统研究经济问题。下面常常用到数据生成系统这个概念。2.1单积性单积（整）：若一个随机过程{xt}必须经过d次差分之后才能变换成一个平稳的可逆的ARMA过程，则称{xt}是d次单积（单整）过程。用xt~I(d)表示。对于平稳过程表示为I(0)。注意：单积过程是指单积次数大于零的过程。对于I(d)过程xtdF(L)(1-L)xt=Q(L)ut因为含有d个单位根，所以常把时间序列单积次数的检验称为单位根检验（unitroottest）。若xt~I(d)，yt~I(c)，则zt=(

3、axt+byt)~I(max[d,c]).Dzt=D(axt+byt)=(axt+byt)-(axt-1+byt-1)=(aDxt+bDyt)当c>d时，zt只有差分c次才能平稳。一般来说，若xt~I(c)，yt~I(c)，则zt=(axt+byt)~I(c)但也有zt的单积次数小于c的情形。当zt的单积次数小于c时，则称xt与yt存在协积（整）关系。2.2单积过程的统计特征以随机游走过程和平稳的AR(1)过程作比较，对于随机游走过程2xt=xt-1+ut,x0=0,ut~IN(0,su)(2.7)t有xt=xt-2+ut-1+ut=…=∑ui（具有永久记忆性)i

4、=1E(xt)=0t2Var(xt)=∑Var(ui)=tsu（随T的增加，方差变为无穷大）i=1下面求xT和xT-k的（相隔k期的）相关系数rk。1TT-kT-k22Cov(xT,xT-k)=E(xTxT-k)=E(∑ui∑ui)=E(∑ui)=(T-k)sui=1i=1i=12Cov(xT,xT-k)(T-k)suT-krk====1-k/TVar(xT)Var(xT-k)Ts2(T-k)s2Tuu只有当样本容量趋于无穷时，相关系数才等于1。有限样本条件下，特别是小样本条件下，随着滞后期k的增加，相关系数有所衰减。这正是在第2章求序列的自相关函数时看到的结果。

5、2对于AR(1)过程yt=f1yt-1+vt,

6、f1

7、<1,y0=0,vt~IN(0,sv)有(2.8)t-12iyt=vt+f1vt-1+f1yt-2=…=∑f1vt-i(yt只有有限记忆力)i=0E(xt)=0t-1i212Var(yt)=E(∑f1vt-i)=2sv(方差为有限值)i=01-f1kAR(1)过程的自相关系数公式，rk=f1，（推导见上一章）。表2.1随机游走过程和平稳的一阶自回归过程统计特征比较随机游走过程平稳的AR(1)过程222方差tsu(无限的)su/(1-f1)(有限的)k自相关系数rk=1-(k/T)®1,"k,T®¥rk=f1穿越

8、零均值点的期望时间无限的有限的记忆性永久的暂时的1.00.90.8RHO50RHO500RHO100RHO10000.724681012141618202224（file：5acf01）T=50、100、500条件下随机游走过程对应的自相关函数图（rho1000=(1-(@trend(0)/1000))^.5）260250s40302010f100.20.40.60.81AR(1)过程自相关系数f1与方差的关系（sigma=1/(1-(@trend(0)/20)^2)）2.3虚假回归⑴用蒙特卡罗模拟方法分析相关系数的分布。ut~IN(0,1),ut~I(0)vt~

9、IN(0,1),vt~I(0)每次生成T=100的相互独立的{ut}和{vt}，并计算Ruv。重复1万次，从而得到Ruv的分布。xt=xt-1+ut,x0=0,xt~I(1)yt=yt-1+vt,y0=0,yt~I(1)利用{ut}和{vt}，每次生成T=100的{xt}和{yt}并计算Rxy。重复1万次，从而得到Rxy的分布。pt=pt-1+xt,p0=0,pt~I(2)qt=qt-1+yt,q0=0,qt~I(2)利用{xt}和{yt}，每次生成T=100的{pt}和{qt}并计算Rpq。重复1万次，从而得到Rpq的分布。1.两个相互独立的I(0)变量{ut}

10、和{vt}