几何非线性弹性梁坠撞动力学响应研究

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1、l993年第振动与冲击总第48期————一撩磊蜀锄几何非线性弹性梁坠撞动力学响应研究>／2，(cf)，一／逯兆乾朱世晋(南京航空学院)TU3ff'，—／摘要本文对计凡几侗非线性的弹性梁坠落撞地响应问题提出一种简便实际的算法，并作了算倒计算作者还用应变片技术对算例的钢粱做了幕列实验测量。文中对计算和实验结果进行丁分析讨论。一引言结构坠落碰撞是工程实际中常会遇到的一类问题，譬如直升机失事或粗暴着陆使飞机结构受到冲击等。因为碰撞物理过程短暂、作用力大而且变化剧烈复杂斓E由于结构碰撞时大变形而必须考虑其

2、几何非线性，有时还有材料非线性问题；此外物体形状类型及碰撞情况不同都可引起碰撞响应有很大的不同这些都使坠撞响应问题变得很复杂，除一些经典问题外，至今尚缺少系统探入的研究。本文作为一种基础性研究，对几何非线性弹性梁的坠落撞地响应问题进行了理论分析计算和实验研究，以期能对这类结构物坠撞响应的基本特性有所认识。二理论分析1．有限元方程推导对于几何非线性梁的动响应问题，为了使推导过程简洁、直观，本文采用自然刚度法的有限元方法一。该法推导平面粱问题时，首先将平面粱单元二节点处共3×2=6个物理位移转化为与

3、梁单元的三个刚体模态及三个自然变形模态相对应的共六个广义位移其次，由于计入梁有大变形的几何非线性，采用小步增量法．即考虑单元节点力矢量增量和位移矢量增量间关系．可导出为{dp)=[K$-j{出)(1)其中单元的切线刚度矩阵-KT'：=[K]1-CK](2)EKE]是单元线弹性刚度矩阵和寻常的相同；而[Ko]是单元几何刚度矩阵，用自然刚度法可写出为EKo'：==EKo：]+Ore](3)其中[为由于正应力引起的几何刚度矩阵，可导出形如Pn·EB]l[K]为由于切应力r引起的几何刚度矩阵，可导出形如

4、s·ED]以上P是梁单元截面拉力，是粱单元截面切力，EB]、[D]是依赖于单元相对于总坐标系倾角的矩阵，其具体推导见文[2]。周P、S、a等都随单元变值而改变，所以[、[K]为单元刚度矩阵的非线性部分。．振动与冲击由粱单元刚度矩阵、质量矩阵、阻尼矩阵可以组装成整个梁的刚度、质量、阻尼矩阵。从而可以得到整个梁的增量形式的动力学微分方程式[](At3)+[c](△+[K—Kc]{AU)={Af(t))(4)最终的方程可用某种逐步积分法．本文用Newmank法求解其动态响应问题。因为系统是非线性的，所

5、以积分的每一步中还须进行若干次迭代，达到一定精度后再做下一步。2．碰撞的处理解决结构碰撞问题常用方法是：将结构作有限元离散，用若干集中质量，再用若干线性或非线性弹簧来代替碰撞处结构的作用用这类模型求解整结构坠落碰撞响应问题，能在一定程度上作出较好的模拟0]。本文原则上也循此途径，但是：奉文分析了梁坠撞响应的特性后，在具体做法上有所不同。上述常用方法处理飞机直升机等结构撞地问题时，用来模拟起落架或滑撬的“碰撞弹簧”，其力与位移关系曲线需要预先算出或由实验测定，且一般是非线性的。但对粱而言，在碰撞时

6、粱的挠曲刚度远小于该处小区域内材料的压缩刚度。因此对于本文要求的粱坠落与刚性地面突起碰撞过程的时间间隔和碰后梁的响应等问题而言，通过分析及数例实算均表明起主要作用的是梁的挠曲刚度。故上述的反映梁材料碰撞处作用的碰撞弹簧可假设为线性的且有远大于粱挠曲刚度的刚性系数。．本文具体计算时按下法进行：在计算它与地碰撞接触的过程中，每一时间步内，方程(4)右边除寻常力增量外，还应在碰撞自由度i上加上碰撞力增量△F=一K·AU，其中K，为相应的碰撞弹簧刚度，由上述可取为远大于粱刚度矩阵相应元，是常数，AU为该

7、碰撞自由度的位移增量。或者将该项移到(4)式左边，便相当于在刚度矩阵第i个对角元上加上K，，这和结构力学中对弹性约束的处理相同。按上述来计算每个时间步时，要据u累加算出碰撞点沿碰撞方向的位移来判断梁和地面是否继续处于碰撞接触状态。如果由某步算出的u已变号，说明该碰撞弹簧已脱离压缩状态，或即该点已脱离碰撞这时该时间步应按不计入噩的(4)式重算。3．等截面梁坠擅过程的数值模拟本文用上述方法编制程序，进行了等截面直梁水平坠落撞于刚性地面奂起后的响应分析。算例即下述实验用的模型梁(见图1)，截面矩形，厚

8、>：宽=1×，梁长L=103．5cm。全梁均等划分成8个单元，9个节点，每个节点3个自由度，碰撞前、后无约束时的总自由度=27。不计阻尼，分别计算了不同下坠高度、撞击端部、L／S、L／4、3L／8、L／2等时的情况。算得梁碰撞点位移一时间曲线如图2和图3所示。图中横轴为时间；从粱碰到地面突起开始算起，纵轴为梁碰撞点法向位移；7为从梁与地接触开始到最后明显分离的时间，可称为“碰撞时间间隔”。本文梁类结构横l匍碰撞情况，由于梁的横向弹性振动，图1坠撞梁模型及撞点JP所以开始碰后中间可以有一次或一次以