不变子空间上特征值的扰动new

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1、万方数据2006年6月高等学校计算数学学报第28卷第2期不变子空间上特征值的扰动木魏莹汪晓虹(南京航空航天大学理学院，南京210016)PERrURBATIONoFEIGENVALUESASSoCI—气TEDWITHINVIARIANTSUBSPACESWeiYingWangXiaohong(CollegeofScience，NanjingUniversityofAeronauticsandAstronautica，Nanjing210016)AbstractInthispaper，wediscusst

2、heperturbationofmatrixeigenvaluesasso-ciatedwithinvariantsubspaces．SomeHo任maxl．WielandtandWelytypetheoremsaregiven．ThesetheoremsextendthecorrespondingresultpointedbyKahanandimproveLutong—xing’Scorrespondingresult．Keywordsnorminequality,invariantsubspaces

3、，eigenvalue，perturbation．AMS(2000)subjectclassifications65N12中图法分类号0241．61引言设矩阵A∈Cn×n,B∈C”×⋯，Q∈C似⋯为列满秩矩阵，令．R=AQ—QB．当R的范数很小的时候，我们分析矩阵B的特征值对A的特征值的逼近性．当A，B都是Hermite阵时，上述问题已经被Kahan解决．近年来，对可对角化矩阵的情形，取得了一些新的成果【l】【2】【3】．【4】[5】【6】中给出了几个范数不等式，并应用于矩阵特征值+收稿日期：2004—

4、03．09万方数据2006年6月高等学校计算数学学报．163．的扰动分析，对以往的结果有所改进．本文把这几个范数不等式应用到不变子空间上的特征值的扰动分析，得出了几个新的Hoffman—Wielandt型和Wely型扰动界，并与有关结果作了比较．本文采用下列记号：以+表示A的共轭转置，”JI。表lz范数或者矩阵的谱范数，J

5、．怙代表矩阵的Frobenius范数，diag(A：，⋯，A。)代表对角元为A1，⋯，A。的对角阵，盯。i。(x)代表x的最小奇异值，K(X)代表x的谱条件数．2主要结果引理116]

6、设A∈CnXnB∈Cn×n均为正规矩阵，X∈Cn×n为Hermite正定矩阵，则A—BII刍≤IlAx—XBIIFIIX一1A—BX一1lit．引理2设A∈C“黼，B∈C“ד均为可对角化矩阵，A=Pdiag(A1，⋯，A。)P-1三PAP_。，B=Gdiag(#l，⋯，p。)G-1三GQG～，Q∈C”ד非奇异，则存在1，⋯，n的一个排列丌，使得证明作P_1QG的奇异值分解P一1QG=U‘∑K∑=diag(al，⋯，盯。)，盯1≥⋯≥盯。>0，其中U∈Cn跏，V∈Cn×n为酉阵．令A=UAU+，后=V

7、FtV+，则RllF≥ii芦彘liaR一1QG—P一1QGallF2旷难丽IIaV+∑y—u+∑yQlIF2旷南丽恤一∑豆№IInllF≥方谁IIQ-：A-BQ。1IIF≥而唯高币而弦1A一雪∑。IlF．(1)式(2)式相乘，由引理1，可知鬻IIRll；,_>Iii∑一∑雪lIFII∑一1A一言∑一1IIF_>Ill一直ll备，万方数据．164．魏莹等：不变子空间上特征值的扰动第2期A。，B“酉相似于A，Q，因此A，雷是正规矩阵，根据Hoffman—Wielandt定理，由(3)式即得本定理．注1若将(

8、1)(2)式代入[4】中的定理1，并选择适当的c，所得的结果比本定理有所加强，加强的结果是【4】中定理5的推广．注2因为K(P)≥1，K(G)≥1，所以本定理是【1】中定理3的改进．定理1设A∈Cnד，B∈C”×⋯均为可对角化矩阵，A=Pdiag(A1，⋯，A。)P-1三PAP～，B=Gdiag(#1，⋯，p。)G一1三G12G一，Q∈Cn×”为列满秩矩阵，则存在1，⋯，扎的一个排列丌，使得≤志删P)x／丽a)ll‰II刖：旧(守)墨卜⋯m．JIRIIF≥币i=1砸IlAP一1Q_p-1QBIIF·令

9、国_p-1Q，壳=A国一国B，由于上amin(Q)<-蒯熹烷，只需证明≤j‰d厕阃一‰i。(Q)’一””对Q进行奇异值分解国=u+(吾)K∑=diag(盯·，⋯，仃。)，仃·≥⋯≥仃m>o，其中配y为酉阵．令A=UAU+，直=VBV+，易得II袁lIF=IlA(苦)一(苦)亩IfF．将A分块表示A=(墨：：墨笔)，At-∈c“×m，Azz∈C‘n—m’בn—m’．作A22的Schur分解A22=矿+MOd-口‘ⅣD=D-4-T，其中M为对