复件 不变子空间的性质与构造

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1、1绪论1.1引言空间中的任何元素经过映射映射后，新的元素仍在这个空间里，这个空间叫做这个映射下的不变空间.不变自空间是原空间的一个子集，对于原空间运算也构成空间且封闭.其作用是可以在子空间去考虑原空间的代数性质，而不必回到原空间，从而将问题简化.这也是本文的主要目的.赞同全文总共分为三部分.第一部分为绪论部分为全文作介绍，方便读者了解本文的中心思想.第二部分主要介绍基本概念，为下面主体部分作铺垫.第三部分为全文的主体部分，篇幅较长，突出介绍文章的结论及应用.主要内容包括：1.不变子空间基本概念-定义

2、与性质；2.不变子空间的结论-定理及推论；3.不变子空间的一些探讨-不变子空间的矩阵计算和不变子空间的应用等.2基本概念2.1定义定义1[1]线性空间的一个变换称为线性变换,如果对于中任意的元素和数域F中任意数，都有定义2[1]设是数域F上线性空间的线性变换,是的子空间.如果中的向量在下的像仍然在中,换句话说,对于中任意一个向量,有我们就称是的不变子空间,简称子空间.2.2下面介绍几种性质：性质1[2]设，，都是的不变子空间，则都是的不变子空间.证明设，则存在,使得.所以,故而为的不变子空间.同理可

3、证为的不变子空间.性质2[2]设，若为的不变子空间，则也是的不变子空间，其中是数域上的多项式.证明由于()是数域上的多项式，不妨设，所以.则有，故依次可知，所以为的不变子空间.性质3[3]设，若可逆且为的不变子空间，则也为的不变子空间.证明由于为的不变子空间,，有.又因为可逆，故，有，所以，于是，也是的不变子空间.性质4[3]设是线性变换，的不变子空间，则在，下也不变.证明，从而，故在，下均不变.性质5[4]设是线性空间V的线性变换，W是的不变子空间.由于W中向量在下的像仍在W中，这就使得有可能不必

4、在整个空间V中来考虑，而只在不变子空间W中考虑，即把看成是W的一个线性变换，称为在不变子空间W上引起的变换.为了区别起见，用符号来表示.必须在概念上弄清楚和的异同：是V的线性变换，V中每个向量在下都有确定的像；是不变子空间W上的线性变换，对于W中任一向量有.但是对于V中不属于W的向量来说，是没有意义的.性质6W是一维-子空间等价于W=L（），其中是的特征向量.性质7[4]的属于特征值的特征子空间也是的不变子空间.3结论及应用3.1本节部分主要介绍关于不变子空间的若干定理以及与实际应用之间的联系，如不

5、变子空间与线性变换矩阵化简之间的联系.定理1[5]1）设是n维线性空间V的线性变换，W是V的-子空间.在W中取一组基，并且把它扩充成V的一组基.（1）那么，在这组基下的矩阵就具有下列形状=(2)其中左上角的K级矩阵就是在W的基下的矩阵.2）设V分解成若干个-子空间的直和：.在每一个-子空间中取基（i=1,2，…，s），（3）并把它们合并起来成为V的一组基I，则在这组基下，的矩阵具有准对角形状（4）其中（i=1,2，…，s）就是在基（3）下的矩阵.反之，如果线性变换在基I下的矩阵是准对角形（4），则由

6、（3）生成的子空间是-子空间.由此可知，矩阵分解为准对角形与空间分解为不变子空间的直和是等价的.定理2设是n维线性空间V的线性变换，证明V可以分解成的n个一维不变子空间的直和的充分必要条件是，V有一个由的特征向量组成的基.证明设，其中每个都是的一维不变子空间.取的基，则，且，即是的特征向量，而且构成的一组基.反之，设的n个特征向量构成的一组基，则）是的不变子空间，且.定理3[1]设线性变换的特征多项式为，它可以分解成一次因式的乘积，则V可分解成不变子空间的直和其中定理4[6]设是维线性空间，线性变换

7、在某个基下矩阵为，则（1）若，其中为阶方阵，当且仅当是的不变子空间；（2）若，其中为阶方阵，当且仅当是的不变子空间；（3）若，其中为阶方阵，其中为阶方阵，当且仅当，及都是不变子空间.定理5[2]设是复数域上维线性空间，是的线性变换，在基，，，下的矩阵是一若当标准形证明：有且仅有和以下非零不变子空间，证明由不变子空间性质可知，是的不变子空间.又由于中一阶主子式所在列的其他元素全部是零的只有第列，因此一维不变子空间仅有；中二阶主子式所在列其余元素全部是零的子式只有第，列的主子式，故二维不变子空间只有，以

8、此类推可得，中所在列的其他元素均为零的阶主子式为第列的主子式为.因此的维不变子空间仅有，而维不变子空间只有综上，于是得到的非零不变子空间有且仅有个，.注：由此证明了以下推论：推论1中包含的的不变子空间只有自身；推论2中的任一非零不变子空间都包含；推论3不能分解成的两个非平凡不变子空间的直和；推论4设是复数域上维线性空间，是的线性变换，在基，，，下的矩阵是一若当块组成的准对角形矩阵，其中，.则有且仅有和以下非零不变子空间，，.定理6[1]在复数域上（1）如果线性变换是一