数值分析第六讲(2)new

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1、第三节牛顿插值拉格朗日插值法最大的弱点是,当插值节点增加后,所有的插值基函数都要重新构造,增加节点前的所有计算结果将毫无作用,造成计算的浪费.牛顿插值却克服了此弱点.一差商1差商概念设函数f(x)在[a,b]上有定义,xi,xj[a,b],且xi≠xj,则称f(x)f(x)ijf(x,x)ijxxij为f(x)在x,x的一阶差商。设f(x,x)与f(x,x)为f(x)在点x,xijijjkij与点x,x的一阶差商,则称jk1结束f(x,x)f(x,x)ijjkf(x,x,x)(xx)ijkikxxik为f(x)在x,x,x的二阶差商。ijk设f(x0,x1,,xk-1)

2、与f(x1,x2,,xk)为f(x)在点x0,x1,,xk-1与点x,x,,x的k-1阶差商,则称12kf(x,x,,x)f(x,x,,x)01k112kf(x,x,,x)(xx)01k0kxx0k为f(x)在点x,x,,x的k阶差商。01k2差商的基本性质(1)n次多项式的k阶差商,当kn时,为一个n-k次多项式,而当k>n时恒为零。2结束(2)差商可以表示为节点处函数值的线性组合：k1f(x0,x1,,xk)f(xi)i0(xi)其中´(x)=(x-x)(x-x)(x-x)(x-x)ii0ii-1ii+1ik例如一阶差商f(xi)f(xj

3、)f(xi)f(xj)f(x,x)ijxxxxxxijijji3结束二阶差商f(x,x)f(x,x)ijjkf(x,x,x)ijkxxikf(xi)f(xj)f(xj)f(xk)xxxxxxxxijjijkkjxxikf(xi)f(xj)11f(xk)(xx)(xx)xxxxxx(xx)(xx)ikijikjijkkikjf(xi)f(xj)f(xk)(xx)(xx)(xx)(xx)(xx)(xx)ikijjijkkikj4结束(3)差商关于节点对称,与节点的排列次序无关。例如一阶

4、差商f(x)f(x)f(x)f(x)ijjif(x,x)f(x,x)ijjixxxxijji类似地f(x,x,x)f(x,x,x)f(x,x,x)ijkikjjikf(x,x,x)f(x,x,x)f(x,x,x)jkikijkji(4)若f(x)在含x,x,,x的区间D上k阶可导。则至01k少存在一点D,使得(k)f()f(x,x,,x)01kk!3差商表点x,x,x,x,,的所有差商可以列成如下的一张差0123商表:5结束xif(xi)一阶差商二阶差商三阶差商…x0f(x)0f(x,x)01x1f(x)f(x,x,x)1012f(x,x)f(x,x

5、,x,x)x1201232f(x)f(x,x,x)2123f(x,x)x3f(x)233┇二牛顿插值公式设x,x,,x为插值节点,x为插值区间内任意一点,以01nx,x,x,,x为节点,依次作一阶、二阶,,n+1阶差商,可得01n6结束f(x)f(x)0f(x,x)f(x)f(x)(xx)f(x,x)0000xx0f(x,x)f(x,x)001f(x,x,x)01xx1f(x,x)f(x,x)(xx)f(x,x,x)001101f(x,x,x)f(x,x,x)01012f(x,x,x,x)012xx2f(x,x,x)f(x,x,x)

6、(xx)f(x,x,x,x)010122012f(x,x,,x)f(x,x,,x)0n101nf(x,x,,x)0nxxnf(x,x,,x)f(x,x,,x)(xx)f(x,x,x,,x)0n101nn01n7结束依次将后式代入前式得f(x)f(x)(xx)f(x,x)0001(xx)(xx)f(x,x,,x)0n101n(x)f(x,x,x,,x)01n其中(x)=(x-x)(x-x)(x-x)01n8结束记Nn(x)f(x0)(xx0)f(x0,x1)(xx)(xx)f(x,x,,x

7、)0n101nR(x)(x)f(x,x,x,,x)n01nf(x)N(x)R(x)则nn其中n次多项式N(x)称为n次牛顿插值多项式,R(x)称为插nn值余项。∵Rn(xi)(xi)f(xi,x0,x1,,xn)0(i0,1,2,,n)∴有Nn(xi)f(xi)由于插值多项式的唯一性,牛顿插值多项式与拉格朗日插值多项式应该是同一多项式,只是写法不同而已。所以其余项也应该相等,即9结束(n1)f()(x