数值分析第九讲(2)

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1、§9.3龙格-库塔(Runge-Kutta)法欧拉方法是显式的一步法,使用方便,但精度较低.本节将构造出高精度的显式一步法：龙格-库塔法,简称R-K法.9.3.1二阶R-K法欧拉法的公式为：y=y+hf(x,y)i=0,1,2,…,n-1i+1iii决定其精度的是函数f(x,y).如能改进这个函数,就可能提高公ii式的精度.为此把公式改写成：y=y+h(x,y,h)i=0,1,2,…,n-1(9.10)i+1iii选择函数(x,y,h),一种方法是用若干个点的函数值的线性组ii合代替(x,y,h),如：ii1结束p(xi,yi,h)cjKj

2、j1K1f(xi,yi)j1Kjf(xiajh,yihbjlKl)j2,3,,pl1其中c,a,b是待定参数,a和b满足jjjljjlj1ajbjlj2,3,,pl1以上方法称为p级R-K法,选择c,a和b,可能使以上方法为p阶jjjl方法.显然欧拉法就是一阶R-K法.2结束二级R-K法的形式是:yi1yihc1K1c2K2K1f(xi,yi)Kf(xah,yahK)2i2i21此时(x,y,h)cf(x,y(x))cf(xah,y(x)ahf(x,y(x)))ii1ii2i

3、2i2iicy(x)cf(xah,y(x)ahy(x))(9.11)1i2i2i2i由二元函数的泰勒展开：f(xah,y(x)ahy(x))i2i2i2f(x,y(x))ahfahy(x)fO(h)ii2x2iy其中所有的偏导数都是它们在点(x,y(x))的值,下同ii3结束又由于：y(x)f(x,y(x))y(x)ffy(x)xy所以2f(xah,y(x)ahy(x))y(x)ahy(x)O(h)i2i2ii2i代入(9.11)2(x,y,h)ccy(x)ahy(x)

4、O(h)ii12i2i代入(9.10)23yy(x)cchy(x)achy(x)O(h)i1i12i22i而Taylor展开式2h3y(x)y(x)hy(x)y(x)O(h)i1iii24结束二式相减,得局部截断误差Ry(x)yi1i1i11231c1c2hy(xi)a2c2hy(xi)O(h)21令1cc0,ac0得:12222c1c211ac222只要c,c,a满足以上方程,就得到一个二阶的R-K法.122这是一个不定方程,有无穷多解.比如：5结

5、束(1)取c=c=1/2,a=1得122hyyKKi1i122K1f(xi,yi)(9.12)Kf(xh,yhK)2ii1这实际上是(9.9)公式,即梯形公式的预估-校正公式只迭代一次的形式,通常称为改进的欧拉法.(2)取c=0,c=1,a=1/2得:122yyhKi1i2K1f(xi,yi)(9.13)hhK2fxi,yiK122这公式又称中点公式.我们还可以构造其他的二阶R-K法.6结束9.3.2四阶R-K法用类似的方法可以确定三级和四级R-K法的参数,构造出三阶和四阶的R-K法

6、.但最常用的是四阶R-K法,四阶R-K法也不只一个,下面给出的是最常用的四阶经典的R-K公式：hyyK2K2KKi1i12346Kf(x,y)1iihhK2fxi,yiK1i0,1,2,,n1(9.14)22hhK3fxi,yiK222Kfxh,yhK4ii37结束例3用经典的四阶R-K法计算例2题目,取步长为0.2,且与准确值比较.计算结果列入表9-3：可见即使用h=0.2计算,也比一阶和二阶方法精度好得多8结束§9.4线性多步法单步法只利用前一步的结果,只要给出

7、初值,就能开始计算,但也因为它只利用前一步的值,为了提高精度就要计算一些非结点处的函数值,增加了计算量.R-K法就是通过这一途径提高精度的.下面介绍的线性多步法,在求y时,不仅用到y的值,还用到前若干步的i+1iy,…,y的值,这些值都是已知的,因此可在计算量增加不多的情况i-1i-k下提高精度.9.4.1用待定系数法构造线性多步法线性多步法的一般形式是：yyyhfff0i1i1kik0i1i1kik或写为：kkjyijhjfij,i0,1,2,,nk.(9.15)j0j09结束其中α,β(

8、j=0,1,…,k)都是实常数,且α≠0,｜α｜+｜β｜≠0,jj