数学分析选讲刘三阳 1到13章习题解答new

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1、习题1-1（导数定义求极限）1．计算下列极限1psinx−sina（1）lim[(1n+)−1]，(p>0)（2）limn→∞nx→asin(xa−)mx−1nn（3）lim,,mn为自然数（4）lim(2⋅a−1)，(a>0).x→1nx−1n→∞xaxaaxa−xa−a（5）lim，(a>0).（6）lim(a>0)xax→axa−x→aa−x1010km(1tan)+x−(1sin)−x(ni+)（7）lim.（8）lim[∑m−1−n]，m为自然数.x→0sinxn→∞i=1n1pp(1+n)−1pp−1解（1

2、）原式=lim=(x)

3、′=px=p.n→∞1x=1x=1nsinx−sinaxa−（2）原式=lim⋅=cosa.x→axa−sin(xa−)mx−1x−1n(3)原式=lim⋅=.x→1x−1nx−1m11nln(2⋅na−1)nln[12(+⋅an−1)]n⋅2(an−1)2lna2（4）原式=lime=lime=lime=e=e.n→∞n→∞n→∞（5）原式xaaaa−ax−axaaa−1a=lim[−]=(a)

4、′−(x)

5、′=alnaaa−⋅=a(lna−1).xa=xa=x→axa−xa−axaxa−x0

6、www.khdaw.coma(a−a)aa（6）原式=lim==a⋅lna.xax→aa−x（7）原式1010(1tan)+x−1(1sin)−x−199=lim−lim=10(1+t)

7、+10(1+t)

8、=20.t=0t=0x→0tanxx→0−sinximkmmk(1+)−1k(ni+)−nnkk(+1)（8）原式=lim∑m−1=∑i⋅lim=∑im⋅=m.n→∞i=1ni=1n→∞ii=12nfx(+h)2()−fx+fx(−h)2．设fx()课后答案网在x处二阶可导，计算lim000.02h→0hxfx()−

9、xfx()3．设00.fx′()存在，计算lim0x→x0x−x0xfx()−xfx()+xfx()−xfx()解原式000000=limx→x0x−x0xfx()−xfx()xfx()−xfx()fx()−fx()0000000=lim−lim=fx()−x⋅lim00x→x0x−xx→x0x−xx→x0x−x000=fx()−x⋅fx′().0001fx()4．设a>0，fa()>0，fa′()存在，计算lim[]lnx−lna。x→afa()ln()ln()fx−faln()ln()fx−faxa−⋅[ln()]

10、ft′(ln)t′af′()afa()解原式=limelnx−lna=limexa−lnx−lna=eta=ta==e.x→ax→a练习1-2（中值定理求极限）1.求下列极限cos(sin)cosx−x（1）lim(sinx+−1sinx−1)（2）lim4x→+∞x→0sinx3322x−xxae−ea−x（3）lim（4）lim(a>0)222x→0tanx⋅sinxx→ax−a3n2aa(1−x)(1−x)⋯(1−x)（5）limn(arctan−arctan)（6）limn−1n→+∞nn+1x→1(1−x)n

11、n+12665665(n+−1nn)（7）lim(x+x−x−x)（8）limx→+∞n→∞ln(n+1)1解(1)原式=limcosξ⋅=20，(x−<1ξ<+x1)。x→+∞2ξ−sin(sinξx−x)sinξξsinxx−1(2)原式=lim=−lim()()(⋅)=，(ξ在x与sinx43x→0xx→0ξxx6之间).。33ξ3x−xe−ee⋅2x33(3)原式=lim=lim=2，(ξ在x与−x之间)。33x→0xx→0x2a1aa(5)原式=limn⋅⋅=a，(ξ在与之间).2n→+∞nn(+1)1+ξn

12、n+111f(1)www.khdaw.com−fx()f′()(1ξ−x)1−1(6)对fx()=xk应用中值定理，==ξk，1−x1−xk11−11(ξ在x与1之间)，而limξk=ξ→1kk1111所以原式=ii⋯i=。23nn!1151121−1(7)原式=lim[(1x+)6−(1−)]6=limx⋅⋅(1+ξ)6=。x→+∞xxx→+∞x632112nln(n+1)lnnnξ11(8)原式=lim[en−en+1]=lime[ln(n+1)−ln]n课后答案网n→∞ln(n+1)n→∞ln(n+1)nn+11

13、n2nn2ln(n+1)ln(1++)nln(n+1)(n+1)−lnnnn=lim⋅=lim⋅=1.n→∞ln(n+1)nn(+1)n→∞nn(+1)ln(n+1)lnnln(n+1)（<ξ<）。n+1nn⎡fa(+1n)⎤2．设fx()在a处可导，fa()>0，计算lim⎢1⎥.n→∞⎣fa(−n)⎦习题1-311-3-3（用