数学分析选讲 第七讲new

《数学分析选讲 第七讲new》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第七讲中值定理与导数的应用基本概念和基本理论定义（极值概念）若存在的某个邻域xU(),x使得00对∀∈xUxfxfxfxfx(),有()≥()(()≤()),则称函0000数()在取得极小（大）值fxxfx(),称点为极小x000（大）值点。极大值、极小值统称为极值,极大值点、极小值点统称为极值点.1、微积分学基本定理定理5.3(费马定理)设f在x的某领域内有定义,a且f在x点可导,若x为f的极值点,则必有f在x的aaa导数f′(x)=0.a注意:1、几何意义：可导函数的极值点处切线是水平的。2、称使f′（x）=0的点为稳定点（驻点）；

2、可导的极值点为稳定点。（2）、中值定理罗尔（Rolle）定理如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且在区间端点的函数值相等，即f(a)=f(b),那末在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ

3、,b)内至少有一点ξ(a<ξ

4、理)设函数f在点x的某邻域0aU(x)内连续,在U(x)内可导,且limf′(x)极限存在,00x→x0则f在点x可导,且f′(x)=limf′(x).00x→x0柯西(Cauchy)中值定理柯西（Cauchy）中值定理如果函数f(x)及F(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且'F(x)在(a,b)内每一点处均不为零，那末在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ

5、x)+o((x−x)),即n0f′(x0)f′′(x0)2f(x)=f(x)+(x−x)+(x−x)+?000!1!2(n)f(x0)nn+(x−x)+o((x−x)))2(00n!上式称为函数f在点x处的泰勒公式,R(x)=0nnf(x)−T(x)称为泰勒公式的余项,形如o((x−x))n0的余项称为佩亚诺(Peano)型余项.所以上式有称为带有佩亚诺型余项的泰勒公式.泰勒公式)2(在x=0时的特殊形式:0(n)f′′)0(f)0(nnf(x)=f)0(+f′)0(x++?+x+o(x)!2n!称为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林(Mac

6、laurin)公式.定理3(泰勒定理)若函数f在[a,b]上存在直至n阶的连续导函数,在(a,b)内存在(n+)1阶导函数,则对任意给定的x,x∈[a,b],至少存在一点ξ∈(a,b),使得0f′(x0)f′′(x0)2f(x)=f(x)+(x−x)+(x−x)+?000!1!2(n)(n+)1f(x0)nf(ξ)n+1+(x−x)+(x−x),)3(00n!(n+1)!)3(式亦称为泰勒公式,它的余项为(n+)1f(ξ)n+1R(x)=f(x)−T(x)=(x−x),nn0(n+1)!ξ=x+θ(x−x)0(<θ<1),00称为拉格朗

7、日型余项.所以)3(式有称为带有拉格朗日型余项的泰勒公式.)3(式中令x=0时,得泰勒公式f(x)=f)0(+f′)0(x+0(n)(n+)1f′′)0(2f)0(nf(θx)n+1x+?+x+x0(<θ<)1!2n!(n+1)!上式称为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式.2、函数的升降性与极值（1）单调性的判别法yyy=f(x)By=f(x)Aoabxox定理设函数y=f(x)在I上可导,则f(x)在I上递增(减)的充要条件是f′(x)≥(0≤0).定理若函数f在(a,b)内可导,则f在(a,b)内严格递增(递减)的充要条件是：i)(

8、对一切x∈(a,b),有f′(x)≥(0f′(x)≤0);(ii)在(a,b)内的任何子区间上f′(x)不恒为.0推论设函数在区间I上可微,若f′(x)>(0f′(x)<0),则f在I上严格递增(严格递减)