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《数学分析习题集1复旦大学new》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、习题1.1n⒈证明由n个元素组成的集合Ta={}，，a"，a有2个子集。12n⒉证明：(1)任意无限集必包含一个可列子集；(2)设A与B都是可列集，证明A∪B也是可列集。⒊指出下列表述中的错误：(1){}0=∅；(2)a⊂{,ab,c}；(3){,ab}∈{,ab,c}；(4){,ab,{ab,}}={,ab}。⒋用集合符号表示下列数集：x−3(1)满足≤0的实数全体；x+2(2)平面上第一象限的点的全体；(3)大于0并且小于1的有理数全体；(4)方程sinxcotx=0的实数解全体。⒌证明下列集合等式：(1)AB∩∪()D=(A∩B)∪(A∩D)；CCC(
2、2)()AB∪∩=AB。⒍举例说明集合运算不满足消去律：(1)AB∪=A∪C≠>B=C；(2)AB∩=A∩C≠>B=C。其中符号“≠>”表示左边的命题不能推出右边的命题。⒎下述命题是否正确?不正确的话，请改正。(1)x∈A∩B⇔x∈A并且x∈B；(2)x∈A∪B⇔x∈A或者x∈B。习题1.21.设S={α,β,γ},T={,abc,}，问有多少种可能的映射f：S→T?其中哪些是双射?2.(1)建立区间[,ab]与[,01]之间的一一对应；1(2)建立区间(,01)与(,−∞+∞)之间的一一对应。3.将下列函数f和g构成复合函数，并指出定义域与值域：2(1)y
3、f==()ulogu,u=g()x=x−3;ax(2)yf==()uarcsinu,u=g()x=3；2(3)yf==()uu−1,u=g()x=secx；x−1(4)yf==()uu,u=g()x=。x+14.指出下列函数是由哪些基本初等函数复合而成的：1132(1)y=arcsin;(2)yx=log(−1)。2ax+135.求下列函数的自然定义域与值域：(1)y=logsinx（a>1）；a(2)yx=cos；2(3)yx=−43−x；12(4)yx=+。4x6.问下列函数f和g是否等同？2(1)fx()=log(x)，g()x=2logx；aa22(
4、2)fx()=secx−tanx,g()x=1；22(3)fx()=sinx+cosx,g()x=1。327.(1)设fx()+=32x−3x+5x−1,求fx()；⎛x⎞3x−1(2)设f⎜⎟=,求fx()。⎝x−1⎠3x+118.设fx()=,求fDf，ffDDf,ffDDfDf的函数表达式。1+x9.证明：定义于(,−∞+∞)上的任何函数都可以表示成一个偶函数与一个奇函数之和。10.写出折线ABCD所表示的函数关系yf=(x)的分段表示，其中A=(,03)，B=(,1−1)，C=(,32)，D=(,40)。211.设fx()表示图1.2.8中阴影部分面
5、积，写出函数yf=(x),x∈[,02]的表达式。y(,11)Ox2x图1.2.8图1.2.9３12.一玻璃杯装有汞、水、煤油三种液体，比重分别为13.6，1，0.8克／厘米(图1.2.9)，上层煤油液体高度为5厘米，中层水液体高度为4厘米，下层汞液体高度为2厘米，试求压强P与液体深度x之间的函数关系。13.试求定义在[,01]上的函数，它是[,01]与[,01]之间的一一对应，但在[,01]的任一子区间上都不是单调函数。3
