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1、习题4.1⒈半径为1厘米的铁球表面要镀一层厚度为0.01厘米的铜，试用求微分的方法算出每只球需要用铜多少克？（铜的密度为8.9克/立方厘米。）⒉用定义证明，函数y=3x2在它的整个定义域中，除了x=0这一点之外都是可微的。习题4.21．设fx′()存在，求下列各式的值：0fx()−∆x−f(x)00⑴lim；∆x→0∆xfx()−fx()0⑵lim；xx→0xx−0fx()+−hf()x−h00⑶lim。h→0h2．⑴用定义求抛物线yx=+232x−1的导函数；⑵求该抛物线上过点(,−−12)处的切线方程；⑶求该抛物线上过点(−21,)处的法线方程；⑷问该抛物线上是否有点(,ab)，过该点
2、的切线与抛物线顶点与焦点的连线平行？3．设f(x)为(−∞,+∞)上的可导函数，且在x=0的某个邻域上成立f(1+sinx)−3f(1−sinx)=8x+α(x)，其中α(x)是当x→0时比x高阶的无穷小。求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程。4．证明：从椭圆的一个焦点发出的任一束光线，经椭圆反射后，反射光必定经过它的另一个焦点（图4.2.5）。5．证明：双曲线xy=a2上任一点处的切线与两坐标轴构成的直角三角形的面积恒为2a2。6．求函数在不可导点处的左导数和右导数。⑴y=
3、sinx
4、；⑵yx=−1cos；=e−
5、x
6、；⑷y=
7、ln(x+1)
8、.⑶y7．讨论下列函数在x=0处
9、的可导性：⎧
10、x
11、1+asin1,(a>0)x≠0,⎧xx2,,>0x⑴y=⎨⑵y=⎨⎩0,x=0;⎩ax+≤b,;x01axxe,x>0,⎧⎧⎪e,x2x≠0,⑶y=⎨⑷y=⎨ax2,;x≤0⎩⎩⎪00,.x=8．设fx()在x=0处可导，在什么情况下，
12、(fx)
13、在x=0处也可导？9．设fx()在[,ab]上连续，fa()=fb()=0，且f′(a)⋅f′(b)>0，证明f(x)在(,ab)+−至少存在一个零点。10．设fx()在有限区间(,ab)内可导，⑴若limfx()=∞，那么能否断定也有limfx′()=∞？xa→+0xa→+0⑵若limfx′()=∞，那么能否断定也有limf
14、x()=∞？xa→+0xa→+011．设函数f(x)满足f(0)=0。证明f(x)在x=0处可导的充分必要条件是：存在在x=0处连续的函数g(x)，使得f(x)=xg(x)，且此时成立f′(0)=g(0)。习题4.3⒈用定义证明(cosxx)′=−sin。2.证明：2⑴(cscx)′=−cotxcscx；⑵(cotx)′=−cscx；11⑶(arccosx)′=−；⑷(arccotx)′=−；221−x1+x−11−−111⑸(chx)′=；⑹(thxx)′=(cth)′=22x−11−x3.求下列函数的导函数：23；⑴fx()=+3sinxlnx−x；⑵fx()=xcosx+x+22⑶f
15、x()=+(x75x−)sinx；⑷f(x)=x(3tanx+2secx)；322sinxx+−x⑸fx()=−exsinx4cosx+；⑹fx()=；x3x21xxsin−2lnx⑺fx()=；⑻fx()=；x+cosxx+123x+cotxxxsin+cosx⑼f(x)=；⑽fx()=；lnxxsinx−cosx()=+(exlog)arcsin；⑿fx()=(cscx−3lnx)x2shx；⑾fx3xxxx+secx+sinx⒀fx()=；⒁f(x)=；x−cscxarctanx4.求曲线yx=ln在(e,1)处的切线方程和法线方程。5.当a取何值时，直线y=x能与曲线y=logx相
16、切，切点在哪里？a6.求曲线y=xn（n∈N+）上过点(,11)的切线与x轴的交点的横坐标x，并求出极限nlimyx()。nn→∞7.对于抛物线ya=+x2bx+c，设集合S={(,xy)
17、过(,xy)可以作该抛物线的两条切线}；1S{=(xy,)
18、过(xy,)只可以作该抛物线的一条切线}；2S={(,xy)
19、过(,xy)不能作该抛物线的切线}，3请分别求出这三个集合中的元素所满足的条件。8.⑴设fx()在x=x处可导，gx()在x=x处不可导,证明cf()x+cg(x)在x=x处00120也不可导。⑵设fx()与gx()在x=x处都不可导,能否断定cf()x+cg(x)在x=x处一定01
20、20可导或一定不可导？9.在上题的条件下，讨论fx()g(x)在x=x处的可导情况。010．设f(x)（i,j=1,2,?,n）为同一区间上的可导函数，证明ijf(x)f(x)?f(x)11121nf(x)f(x)?f(x)11121n@@@df(x)f(x)?f(x)n21222n=∑fk′1(x)fk′2(x)?fkn′(x)。dx@@@k=1@@@f(x)f(x)?f(x)n1n2nnf(x)f(x)?f(x)n1
