关 于 拓 扑 空 间 的 定 义new

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1、上饶师范学院优秀本科毕业论文关于拓扑空间的定义03数(8)刘全闽指导老师:熊华平[摘要]:分别从拓扑概念“开集”、“邻域”、“导集运算”、“闭集”、“闭包运算”、“内部运算”、“基”和“子基”出发定义拓扑空间，以循环顺序证明了这八个拓扑空间的定义是相互等价的，从而都给出了同一个数学对象——拓扑空间。关键词:开集拓扑空间;邻域拓扑空间;导集拓扑空间;闭集拓扑空间；闭包拓扑空间;内部拓扑空间；基拓扑空间；子基拓扑空间。1.引言点集拓扑学是数学的一个分支，它研究拓扑空间以及定义在其上的各种数学构造的基本性质。这一分支起源于以下几个领域：对实数轴上点集的细致研究，流形的概念，度量空间的概

2、念，以及早期的泛函分析。通过这种可以为所有数学分支适用的表述形式，点集拓扑学基本上抓住了所有的对连续性的直观认识。不同的文献往往给出表述不同的“拓扑空间”的定义，如Hausdorff的拓扑学经典著作《集论》（1914年）用“邻域公理”定义“拓扑空间”，而Kuratowski的经典拓扑学论文（Fund.Math.3(1922),76-108）则是用他著名的“闭包公理”定义“拓扑空间”。而当今拓扑文献如[1],[2],[3]通常倾向于用简洁的“开集公理”定义拓扑空间。2.主要定理：“拓扑空间”的八种定义，是彼此等价的2．1（1）（2）适用公理（O1）～（O3）的“开集拓扑空间”(X

3、,T)的邻域结构完全决定（X，T）自身定义：设X是一个集合，T是X的一个子集族，如果T满足如下条件：（O1）X，T；1上饶师范学院优秀本科毕业论文（O2）若A，BT，则ABT；（O3）若T1T，则UA∈T1A∈T.则称T是X的一个开集拓扑。定义：如果T是集合X的一个开集拓扑，则（X,T）称为开集拓扑空间,T的每一个元素都叫做开集拓扑空间（X,T）中的一个开集。定义：设（X，T）是一个开集拓扑空间，xX，如果U是X的一个子集，满足条件：存在一个开集VT，使得xVU，则称U是点x的一个邻域，点x的所有邻域构成的X的子集族称为点x的邻域系。引理：开集拓扑空间X的一个

4、子集U是开集的充分必要条件是U是它的每一点的邻域,即只要xU，U便是x的一个邻域。证明：定理中条件的必要性是明显的，以下证明充分性，如果U是空集，当然U是一个开集，下设U≠，根据定理中的条件，对于每一个xU存在一个开集Ux使得xUxU，因此U=UxU{x}UxUUxU故U=UxUUx，根据开集拓扑的定义U是一个开集。定理：（X,T）是一个开集拓扑空间，记ux为点xX的邻域系，则（U1）对于任何xX，ux≠；并且如果Uux，则xU；（U2）如果U，Vux，则UVux；（U3）如果Uux，并且UV，则Vux；（U4）如果Uux，则存在V

5、ux，满足条件：（i）VU和（ii）对于任何yV，有Vuy.证明：证（U1）:对于任何xX，由于X是一个开集，所以显然Xux，因此ux≠，此外根据邻域的定义，一个点的邻域必包含这个点本身。证（U2）:设U,Vux，则存在开集U0和V0使得xU0U和xV0V成立，从而我们有xU0V0UV，由于U0V0是一个开集，故UVux.证（U3）:设Uux，并且有UV，则存在开集U0使得xU0U，从而有xU0V，因此Vux.证（U4）:设Uux，则存在V满足条件xVU的一个开集，V已经满足条件（i），根据引理，它也满足条件（ii）.定理：

6、如果{ux

7、xX}适合(U1)~(U4),则在X上存在唯一的开集拓扑空间（X，T）,使（X，T）在每一点xX的邻域系恰是ux.2上饶师范学院优秀本科毕业论文证明：令T={UX

8、如果xU，则有Uux}(i)我们验证T是X上的一个开集拓扑。证(O1):空集φ中没有任何一个点，所以xU不成立,故φT；对于任何xX，由(U1)知，可以任意选取Uux；由于U是X的一个子集，根据(U3),我们有XUx，因此XT.证(O2):设A,BT，如果xAB，由于我们有Aux和Bux，根据（U2）可见ABux，因此ABT.A证(O3):设T1T，如果xAT

9、1,则存在UT1使得xU，由于UT，所以AAAUux；由于UAT1，所以根据（U3）有AT1ux，这证明AT1T.**(ii)记任意一点xX在开集拓扑空间（X，T）中的邻域系为ux,现在证明ux=ux.设Uux,根据条件(U4),可见存在Vux使得VT;又根据条件(U1),可见****xV,于是xVU,从而Uux.这证明uxux.另一方面,设Uux,则存在*****VT,使得xVU,由于Vux并且根据条件(U3)可见Uux.