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1、拓-扑-空-间(1);(2)如果，则；(3)若,则.即是X的一个子集族.如果满足如下条件:集),则称是X的一个拓扑.定义2.1.1设X是一个集合,(表示X的幂(1)X的任意有限开集族的交是开集.(3)任何开集族的并是开集.扑空间X中的开集，因此拓扑空间X的定义可以理解为：一个集合X的拓扑是X的一个开集族满足条件：,(1)是开集(2)任意两个开集的交集是开集是X的拓扑的条件可以叙述为:(2)X的任意开集族的并是开集.中的每一个元素是拓设是X的一个拓扑，由于例2.1.1平庸空间是X的一个拓扑，称之为
2、X的平庸拓扑，并且我们.间中只有两个开集，即X自身和空集例2.1.2离散空间是开集.为一个离散空间,在离散空间中,X的每一个子集都是一个集合，令设，易验证个拓扑,称之为X的离散拓扑,并且称拓扑空间(X,))为一个平庸空间.显然在平庸空称拓扑空间(X,设X是一个集合,令,显然,是X的一例2.1.3设X是一个三元素集合,我们X上可以构造不同的拓扑,下面我们介绍其中一些拓扑.当然，通过对以上拓扑中a,b,c的不同排列，我们在X上还可建立其它拓扑结构.但是,并不是X的每个子集族都是X的拓扑.例2.1.4
3、有限补拓扑设X是一个集合，首先注意，当我们考虑的问题中的全集自明时，在求补集运算时我们并不每次提起，因此在本例中，A的补集A＇即为X－A.令例如，下面的两个X的子集族就不是X的拓扑.A1={{a},{b},X,}A2={{a,b},{b,c},X,}不满足定义2.1.1条件(3),A不满足定义2.1.1条件(2)A即(1)根据定义,此外，由于因此.(2)设，若或者，则；假定，由DeMorgan定律以及为有限集可知是有限集，因此.(3)设,如果,则.是X的一个拓扑.先验证如果,当时,;当时,,取,
4、这时.由于且，因此是有限集，从而是有限集，因.此根据上述(1),(2),(3),是X的一个拓扑,称之为X的有限补拓扑,拓扑空间(X,)称为一个有限补空间.读者不难验证,有限集X的有限补拓扑是X的离散拓扑,即若X是一个有限集,那么例2.1.5可数补拓扑.设X是一个集合，令={UX
5、X-U是X的一个可数即可数集合X的可数补拓扑是X的离散拓扑.{}子集}通过与例2.1.4中完全类似的作法易验是X的一个拓扑(留作习题),称之为X的可数补拓证)称为一个可数补空间.扑,拓扑空间(X,读者自行验证，若X是一个
6、可数集，则否则，就称为不可比较的.当然，同集合上不可比较的拓扑是存在的，例如定义2.1.2设是集合X上的两个拓扑,如果或称比粗,如果,我们称比细,我们称比严格细,或称比严格地粗.如果我们称拓扑与是可比较的.或}是X显然，对于集合X来讲，粘合扑拓={X,上最粗的拓扑，离散拓扑=P(X)是X上最细的拓扑.与就是X的两个不可比较的拓扑.，那么间.习题§2.12.对每一个正整数，令，证明是正整数集Z+的一个拓扑.X上的两个给定拓扑.令,证明是一个拓扑空拓扑.1.验证例2.1.5中集族是X上的拓扑.3.设
7、(X,)是一个拓扑空间,是任何一个不属于X的元素,(3)设，也是X的4.(1)设和是集合X上的两个拓扑,证明可以不是X上的拓扑，其中，是(2)举例说明是集合X上的一族拓扑,证明在X上存在一5.设{.拓扑包含着每个之中,在X上存在一个最粗的个最细的拓扑空间包含于每个(提示:设{是X上一族拓扑,则是X上的一个拓扑).于和的最细的拓扑.找出包含和的最粗的拓扑和包含难点：由邻域系决定拓扑方法的证明§2.2拓扑基与邻域系,邻域基重点：邻域的定义，性质，邻域基的定义构成的X的子集族称为点x的邻域系.易见，如
8、果U是包含着点x的一个开集，那么一定是x的一个邻域，此时我们称U是点x的一个开邻域.点x的所有邻域VU,则称U是点x的一个邻域.Î得xU是X的一个子集且满足条件:存在一个开集V使X，如果定义2.2.1设(X,)是一个拓扑空间,x故U,U便是x的一个邻域.只要x证明:必要性.若U是开集，则对每点xX,U即是x的一个开邻域.充分性.若U=，显然U是开集，若U则对xU，由于U是邻域，由定义2.2.1，必存在开集Ux使得xUxU.因此，由定义2.1.1(3)知U是一个开集.充分必要条件是U是它的每一点在
9、(X,)中的邻域.即定理2.2.1拓扑空间(X,)的一个子集U是开集的邻域系,则:证明:(1)对于任何由于X是一个开集,因此X是定理2.2.2设X是一个拓扑空间,记为点xX的(2)如果U,V,则U;x，则,并且如果U(1)对于任何xX,满足条件,则存在(4)如果对于,有(3)如果U,并且,则使得,因此由定理2.2.1一个点的邻域必包含这个点本身.此外根据,因此x的一个开邻域,因此于是一个开集,因此,由定义2.2.1则存在开集U0，V0(2)设从而有,因此使得则存在开集且(3)设由于因此V是x的开
