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《第6章 常微分方程与差分方程》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第五章常微分方程与差分方程1考试内容1.常微分方程的基本概念•常微分方程含有一元未知函数及其导数(或微分)的方程.•微分方程的阶微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数.一般地,n阶常微分方程的形式是(n)F(x,y,y′,L,y)=0(n)(n−1)或y=f(x,y,y′,L,y).•线性微分方程方程中的未知函数及其个阶导数的次数都是一次,且无交叉乘积项.32(4)二阶非线性.y′′+y+xy′−(sinπx)=1,y′′+p(x)y′+q(x)y=f(x),二阶线性.2•微分方程的解代入微分方程能使方程成为恒等式的函数.通解解中所含独立的任
2、意常数的个数与方程的阶数相同.特解不含任意常数的解.其图形称为积分曲线.注意,通解不一定是方程的全部解.•初始条件用来确定任意常数的条件.•初值问题求微分方程满足初始条件的解的问题.⎧⎪y′=f(x,y)过定点的积分曲线;一阶:⎨⎪⎩yx=x0=y0⎧⎪y′′=f(x,y,y′)二阶:⎨⎪⎩yx=x0=y0,y′x=x0=y0′过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.32.变量可分离的微分方程dy•形式=f(x)g(y).dxdy•解法分离变量,=f(x)dx,g(y)dy两边积分,∫∫=f(x)dx,g(y)⇒G(y)=F(x)+C.称为隐
3、式通解,或通积分.43.齐次微分方程dyy•形式=f().dxxy•解法作变量代换,u=,即y=xu,xdydu∴=u+x,dxdxdu代入原式得u+x=f(u),dxdudx分离变量得=,f(u)−ux两边积分,将u代回,便得到原方程的通解.5•可化为齐次的方程dyax+by+c22=f()(c+c1≠0).dxa1x+b1y+c1a1b1(1)当==λ时,令u=ax+by,ab化为可分离变量方程.a1b1⎧x=X+h,(2)当≠时,令⎨(其中h和k是待定的常数)ab⎩y=Y+k,化为齐次方程.64.一阶线性微分方程dy•形式+P(x)y=Q(
4、x).dx当Q(x)≡0时,称为齐次方程;当Q(x)≡0时,称为非齐次方程.dy•齐次方程的解法+P(x)y=0dxdy分离变量,=−P(x)dx,y两边积分得,lny=−∫P(x)dx+lnC,−∫P(x)dx故通解为y=Ce.7dy•非齐次方程的解法+P(x)y=Q(x)dx−∫P(x)dx用常数变易法:作变换y(x)=u(x)e,则−∫P(x)dx−∫P(x)dx−∫P(x)dxu′e−P(x)ue+P(x)ue=Q(x)du∫P(x)dx即=Q(x)e.dx公式法P(x)dx两边积分得u=∫Q(x)e∫dx+C,−P(x)dx⎡P(x)d
5、x⎤故原方程的通解为y=e∫⎢∫Q(x)e∫dx+C⎥⎣⎦−∫P(x)dx−∫P(x)dx∫P(x)dx也即y=Ce+e∫Q(x)edx齐次方程通解非齐次方程特解8dyn•伯努利方程+P(x)y=Q(x)y(n≠0,1)dxn解法:以y除方程两边,得−ndy1−ny+P(x)y=Q(x),dx1−ndz−ndy令z=y,则=(1−n)y,dxdxdz+(1−n)P(x)z=(1−n)Q(x).(线性方程)dx求出此方程通解后,换回原变量即得伯努利方程的通解.95.线性微分方程解的性质及解的结构定理•n阶线性微分方程的形式(n)(n−1)y+P1(
6、x)y+L+Pn−1(x)y′+Pn(x)y=f(x)(1)特别地,n阶齐次线性微分方程(n)(n−1)y+P1(x)y+L+Pn−1(x)y′+Pn(x)y=0(2)(2)称为(1)相应的齐次方程.定理1:若y1,y2,L,yn是n阶齐次方程(2)(n)(n−1)y+a1(x)y+L+an−1(x)y′+an(x)y=0的n个解,则y=C1y1+L+Cnyn(Ck为任意常数)也为齐次方程(2)的解.齐次方程解的叠加原理105.线性微分方程解的性质及解的结构定理定理2:若y1,y2,L,yn是n阶齐次方程(2)(n)(n−1)y+a1(x)y+L
7、+an−1(x)y′+an(x)y=0的n个线性无关解,则方程的通解为y=C1y1+L+Cnyn(Ck为任意常数).∗∗定理3:若y1,y2是n阶非齐次方程(1)(n)(n−1)y+a1(x)y+L+an−1(x)y′+an(x)y=f(x)∗∗的两个解,则y2−y1是相应的齐次线性(2)(n)(n−1)y+a1(x)y+L+an−1(x)y′+an(x)y=0方程的解.115.线性微分方程解的性质及解的结构定理定理4:给定n阶非齐次线性方程(1)(n)(n−1)y+a1(x)y+L+an(x)y=f(x),设y1(x),y2(x),L,yn(x
8、)是对应齐次方程(2)的n个线性无关特解,y*(x)是非齐次方程(1)的特解,则非齐次方程(1)的通解为y=C1y1(x)+C2y2(x
