常微分方程差分方程解法归纳

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1、.常微分方程解法归纳1.一阶微分方程部分①可分离变量方程（分离变量法）如果一阶微分方程中的二元函数可表示为的形式，我们称为可分离变量的方程。对于这类方程的求解我们首先将其分离变量为的形式，再对此式两边积分得到从而解出的解，其中C为任意常数。具体例子可参考书本P10—P11的例题。②一阶线性齐次、非齐次方程（常数变易法）如果一阶微分方程中的二元函数可表示为的形式，我们称由此形成的微分方程为一阶线性微分方程，特别地，当时我们称其为一阶线性齐次微分方程，否则为一阶线性非齐次微分方程。对于这类方程的解法，我们首先考虑一阶线

2、性齐次微分方程，这是可分离变量的方程，两边积分即可得到，其中C为任意常数。这也是一阶线性非齐次微分方程的特殊情况，两者的解存在着对应关系，设来替换C，于是一阶线性非齐次微分方程存在着形如的解。将其代入我们就可得到这其实也就是，再对其两边积分得，于是将其回代入即得一阶线性微分方程的通解。具体例子可参照书本P16—P17的例题。..③一阶齐次型微分方程（变量代换）如果一阶微分方程中的二元函数满足对于一切非零实数都有等式成立，我们称一阶微分方程为一阶齐次型微分方程。对于此类微分方程的解法，我们一般利用变量代换的方法将其化

3、为一阶可分离变量的方程然后再相应求解。事实上，如果我们令于是。于是一阶齐次型微分方程可表示为然后令将其化为一阶可分离变量微分方程。具体过程如下：令，代入方程可得也就是，它的通解是易求得的，求出它的通解之后将回代就可得到一阶齐次型微分方程的通解。当然，有时候我们令于是。于是一阶齐次型微分方程可表示为也就是此时令，代入方程可得然后再依次求解。有时候后者的代换方法会更简洁，当然两者的解法本质上是没有区别的，具体求解时可以灵活地运用。具体例子可参看书本P20—P22的例题。④伯努利方程（变量代换）如果一阶微分方程中的二元函

4、数满足等式，我们就称由此形成的微分方程为伯努利方程。对于此类方程的求解，我们可以通过变量替换将其转化为一阶线性微分方程求解。我们可以在方程两边同除以，可以将方程变形为..即。我们令，于是方程即利用一阶线性微分方程的通解可得的通解，再将回代就得到了伯努利方程的通解。具体例子可参照书本P22—P23的例题。⑤变量代换方法的应用----其他类型的齐次微分方程形如的方程也是齐次方程。对于这种类型的方程通过简单的代换就可以化为一阶齐次型微分方程来进行求解。我们讨论更一般的情形，对于形如的齐次方程，我们令，其中为待定常数，可得

5、，可以选取适当的使得当时，有唯一解，可以化上面的方程为齐次方程，求解此方程，并将代回就得到齐次方程的解。当时要分两种情况讨论。情况一：若，则。原方程可以化为。令则得到变量可分离的方程，然后按照相应的解法即可求解。情况二：若，则中至少有一个为0.当时，原方程为是可变量分离的方程，按照相应的解法即可求解。当时，可以令，原方程就变为了这是..可变量分离的方程，按照相应的解法即可求解。具体例子可参看书本P24—P25的例题。1.可降阶的高阶微分方程部分（主要讨论二阶微分方程）①形如的微分方程对于形如的微分方程，我们可以连续

6、对等式两边积分n次便可以求得其含有n个任意常数的通解为。具体例子可参看书本P28例题。②形如的微分方程一般二阶微分方程可以表示为，当因变量不显含时形成了如的不显含因变量的二阶微分方程。我们可以通过变量代换来进行降阶。我们令，于是方程可化为，这是一个以为未知函数，以为自变量的一阶微分方程，我们可以容易求得。设其通解为，则。两边积分就得到原方程的通解为。其中为任意常数。具体可参看书本P28—P30例题（注意例4！！）③形如的微分方程与不显含因变量的二阶微分方程的定义类似，我们把形如的微分方程称为不含自变量的二阶微分方程

7、。我们仍然通过变量代换来求解此类方程。我们令，于是方程可化为，这是一个关于的一阶微分方程，我们可以容易求得。设其通解为，则由可得，两边积分就得到原方程的通解为。其中为任意常数。具体例子可参看书本P32—P34例题。注：在可降阶的微分方程求解问题中，在消去所设的变元如时我们一定要注意是否会丢失的解。..1.线性微分方程在介绍线性微分方程的解法之前有必要先介绍线性微分方程解的结构与性质。我们直接介绍阶线性微分方程的解的结构与性质。对于区间上的个函数，若存在个不全为0的常数使得在上有，我们就称这个函数在区间上是线性相关的

8、，否则就是线性无关的。此外对于阶线性微分方程的系数都为常数是我们称该方程为阶线性常系数方程，否则为阶线性变系数方程。进一步细分，对于自由项，若就称原方程为阶线性齐次方程，否则为阶线性非齐次方程。若函数是阶线性齐次方程的个线性无关的特解，则为阶线性齐次方程的通解。若函数是阶线性非齐次方程的个线性无关的特解，此外函数是阶线性非齐次方程的1个线性无关的特解，则为阶