gap在近世代数教学中的应用new

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1、万方数据第14卷第l期高等数学研究20l1年1月STUDIESINCOLLEGEMATHEMATICSV01．14．No．1Jan．．20llGAP在近世代数教学中的应用董井成(莆京农业大学工学院基础课部．江苏南京210031)摘要针对近世代数研究内容较抽象的特点，介绍一款适合开展近世代数数学实验的软件GAP。借助实例说明如何在群论的教学和实验中运用GAP．关键词GAP；近世代数；有限群中图分类号0152．1；TP319文献标识码A文章编号1008—1399(2011)01一0089一03在计算机技术日益普及的今天，大学数学中的多门课程都与计算机软件产生了紧密的联系．如微积分、线性代数和概

2、率统计中的许多问题都可以借助Matlab，Maple，Mathematica等软件来解决．同时这些软件也不同程度的融入了平时的课堂教学中．然而，作为大学数学系专业基础课的近世代数(亦称抽象代数)在这方面的“表现”却不佳．究其原因主要是这门课程研究的对象(群、环、域)较抽象，在一般的软件上难以实现．这种情况不仅影响了学生对群、环、域的直观理解，而且由于缺少计算机的帮助，使得我们在对高阶群的研究时往往望而却步．GAP的出现可以说是一场革命，它实现了抽象对象的计算机化．GAP是一款专门计算离散代数的软件，可从其官方网站免费下载[1]．此篇文章主要讨论其在群论教学和实验中的应用，希望能起到抛砖引玉

3、的效果．鉴于国内使用GAP的读者不多，本文首先对GAP的使用作简单介绍．GAP是一款绿色软件，不需安装．将其下载的压缩包解压到硬盘(如D：＼)，双击D：＼gap4r4＼bin下的批处理文件gap．bat即可启动软件，稍等片刻系统显示其欢迎界面并显示输入提示符“gap>”．GAP的界面类似传统的DOS，它通过在提示符后输人命令一系统运算一返回计算结果这样的对话模式进行工作．要退出GAP，在提示符后输入“quit；”即可．需要注意的是GAP语句以分号结尾，不能省略．如果不想让GAP立刻返回计算结果，可在句末多加一个分号．接下来我们看如何在GAP中构造群．GAP中构造群的方法有多种，最直接的是利

4、用其庞大的函收稿日期12009一03—08I修改日期；2010一04—30．基金项目：江苏省农机局科研启动基金(GXZ08001)．作者简介：董井成(1978一)，男，江苏南京人t硕士，讲师，主要从事Hopf代数研究．Email：dongjc@njau．edu．cII．数库．GAP函数库几乎包含了常见的所有群，群的阶最高的可以达到几万，基本上可以满足本科教学的需要．如循环群、对称群、二面体群分别用函数CyclicGroup(，1)，SymmetricGroup(以)，DihedralGroup(，1)表示，其中行是群的阶．为了便于计算机处理，GAP中的群大多使用PC群的形式‘21．下面的语

5、句告诉我们8阶二面体群D。是由三个生成元生成的8阶PC群．gap>d8：=DihedralGroup(8)I<：pcgroupofsize8with3generators：>这虽然不符合我们的习惯，但并不影响我们对群的研究．当然，我们也有可供选择的方法．由Cayley定理知任何一个有限群均同构于一个置换群．因此GAP中提供了利用同构的置换群表示群的方法．下面的语句告诉我们D。可表示为由两个置换(1，2，3，4)，(2，4)生成的置换群，这可从二面体群的几何意义得到解释‘3。．gap>d8：=DihedralGroup(IsPermGroup．8)，Group([(1。2，3．4)．(2．4

6、)])关于GAP的群函数库请参考文[2]第48章．GAP中还有一种表示群的方法更接近我们的习惯，这就是有限表示群，它是由自由群模去某种关系生成的群．由群论知识可知任何有限群均可表示成有限表示群．比如2咒阶二面体群可表示为D2。=<口，6f口。=l，矿=1，(曲)2=1>={1，口，⋯，口。1，6，口6，⋯，口”16}．相应的，我们在GAP中用以下语句生成二面体群．gap>fl=FreeGroup(”a“．飞”)¨gap>d8：=f／[f．1‘4，f．2‘2．(f．1*f．2)‘2]I·gap>StructureDescriptio

7、n(d8)；”D8”万方数据90高等数学研究2011年1月gap>LIst(d8)}[．a，b·a．2．a*b·a．3．a^2*b，a．3*b]上文函数structureDescnption(G)用来检验群G的结构，返回值“D8”表明我们构造的是8阶二面体群．关于此函数其它返回值的含义请参阅文[2]．函数List(G)列出群G的所有元素，而表示此群的单位元．“fp”是有限表