高等数学08上末卷

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1、08上末卷一、填空题（每小题4分，共28分）x−arctanx1、不定积分dx=。∫21+x3k2、函数f()2sinxxx=−−sin2x，且当x→0时，f(x)～Ax，则A+=k。x2∫(arctan)tdt03、lim=。+3x→0xπ24、曲线yx=cos在点(,)处的曲率为。4225、设f,g有一阶连续的导数，yfx=+(3gx(sinπx))，且f'(3)=2，gg(1)=='(1)1，则y'=。x=1126、lim(cos)xx=。x→0y227、设arctan=+lnxy，则dy=。x(1,0)二、

2、选择题（每小题4分，共20分）1、下列三个命题（1）设点()xy为连续曲线yfx=()上的拐点，则fx''()=0；0,00（2）设x为二阶可导函数yfx=()的极大值点，则fx''()<0；00（3）设x为一阶可导函数yfx=()在[,]ab上的最大值点，则fx'()=000中正确的有几个？（）（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个1−x+y2、曲线e=1+xy在点（1，0）处（）（A）没有切线（B）切线为x=1（C）切线为y=0（D）切线为x+y=113、不定积分∫dx=（）x(1−x)1（A）arcsinx

3、+C（B）arcsinx+C2（C）2arcsin(2x−1)+C（D）arcsin(2x−1)+C2−x4、函数yx=e拐点的个数为（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个x5、设函数f()x连续，F()xf=+∫(xt)dt，则Fx'()=（）0（A）f(2)xfx−()（B）2(2)()fxfx−（C）2(2)fx（D）f(2)x三、（本题8分）222yx−dydy设函数y=y(x)由x+=ytcosdt确定，求,。∫(0,0)2(0,0)0dxdx四、（本题8分）πsinabsin设0<<≤ab，证明>。2

4、ab五、（本题8分）2计算积分∫xtansecxxdx。六、（本题8分）22112++−−xx计算极限lim3x→0xxln(1sin)+七、（本题6分）有一个圆锥形容器，锥顶向下放置，容器深10厘米，圆形的容器口半径为5厘米。现向该容器以每秒10立方厘米的速度注入水，求当水面升高到5厘米时，水面升高的速度为多少？x5cm10cmo16八、（本题8分）计算定积分∫arctanx−1dx。1九、（本题6分）设f(),()xgx在[ab,]上连续，在(,)ab内可微，且gx'()在(,)ab内无零f'()ξff()ξ−

5、()a点，证明∃∈ξ(,)ab，使得=。gg'()ξ()b−g()ξ证明：设Fx()[()=−fxfagbgx()][()−()]，2分则Fx()在[ab,]上连续，在(,)ab内可微，且FaFb()=()0=，所以，由罗尔定理∃ξ∈(,)ab，使得F'()ξ=0。即fg'()(()ξbgff−+−−=())(()ξξ())(ag'())ξ03分由于gx'()在(,)ab内无零点，所以g'()ξ≠0。1分对gx()在[,]ξb上运用拉格朗日中值定理，存在η∈(,)ξb使得gbg()−=()ξg'()η≠0，所以gb

6、g()−≠()0ξ1分所以，fg'()(()ξbgff−+−−=())(()ξξ())(ag'())ξ0能化为f'()ξff()ξ−()a=。1分gg'()ξ()b−g()ξ