有限元及边界元计算中的自适应方法

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1、一第4卷第2期自然科学进展——国家重点实验室通讯l9舛年3月有限元及边界元计算中的自适应方法(中国科学关-词wpit边界自适应方法后验局部误差估计。——————一一一一1引言科学研究和工程递计中的许多问题都可归结为微分方程、积分方程或其它类型的数学模型，而求解这些数学问题通常又离不开数值计算．有限元方法及边界元方法便是两种重要的数值计算方法．一方面，当代计算机技术的高速发展为数值计算提供了越来越好的设备，使得应用数值方法求解更多的数学问题成为可能．但另一方面，科学技术的发展又对计算提出了越来越高的要求，仅仅进行一次计算得到一个近似解往往是不够的，我们还必须知道计算的精

2、度及进一步改进计算的方法．也就是说，计算过程还应包括：对计算结果作后验估计，以便知道是否有足够精度：根据后验估计控制计算过程，以最小的代价得到尽可能好的结果；通过后处理，从近似解得到所需要的高精度数据．因此，研究后驶估计和白适应技术已成为计算数学发展的重要方向之一．2自适应有限元方法70年代末白适应技术首先被应用于有限元方法中[1J．10余年来已有大量关于其数学理论、程序实现及工程应用的论文问世．有限元逼近通常分为h型、P型及h-p型．传统的h型方法通过不断细分网格从而使单元尺寸h一0来实现近似解逼近准确解．在这一过程中作为近似解的分片多项式的阶P不变．P型方法则在网

3、格固定即h不变的情况下，通过不断提高作为近似解的分片多项式的阶即令P—oo来实现逼近．^型方法则是二者的适当结合．但通常的h型P型或^型方法还不是自适应方法．对许多问题，通过细分全部网格或提高所有单元的逼近阶来改善计算结果显然是很不经济的，自适应方法的特点正在于，依据对已有计算结果的后验局部误差估计，对网格进行局部细分或仅对某些单元提高逼近多项式的阶，然后进行下一步计算．这样便可以尽可能少的代价取得尽可能好的结果．因此，自适应方法是具有某种最优性质的反馈方法在多数情况下，这里的最优性质是指最优收敛速率．一个典型的^型自适应方法通常包括以下几步：(】)选基本网格即粗网格

4、，使之适合问题19g~．4)3-16收稿．·国家自然科学基垒赍聃项目第2期余蕾浩：有限元厦边界元计算中的自适应方法的几何形状、边界条件及载荷情况；(2)对各单元取P=1；(3)进行有限元计算；(4)对近似解作后验误差估计，若精度足够，停止计算；(5)计算各单元误差指示值，通过比较将网格单元分为非临界(非奇性)单元及临界(奇性)单元；(61将误差指示值超过预定水平的单元进行细分(对临界单元)或将p增加l(对非临界单元X(7)回到第3步．需要指出的是，由于自适应方法允许局部细分网格，故必须突破标准有限元方法对网格的限制，即由正规网格推广到某种非正规网格，由拟一致网格推广到

5、网格．其插值节点也包括正常节点与非正常节点，非正常节点上的值由协调元要求决定．因此在h型自适应有限元解空间中，插值逼近定理依然成立，但反不等式通常则不再成立．从而标准有限元方法中的一些结论未必适用于自适应有限元方法，必须发展自适应有限元方法的相应数学理论0-3]．设计自适应过程的关键是选择可靠的误差指示值．因此获得可靠的可计算的后验局部误差估计是更重要也更困难的任务．考察二阶椭圆边值问题fh：一圭D{)+：0内，r上1l”-0，⋯、、至=】(“)nt三=1(＼I=1D{“)，及其变分形式r求”∈(f1)使得II＼，")JI‘】fvdx+Irtvds，V"∞)，·其中D

6、=÷，f=1，2，GXt广三=，I(口DfuDkv+buv)dx，Jn‘日(0){veil(0)I=0OnI10}，日’∞)为Sobolcv空间．文献川首先给出了如下估计式：C。(∑f。，)~S，(4)作后验估计．这一估计仍然不是局部估计，且其右端为未知解”的高阶模，本身不可计算．问题化为如何由计算”的高阶模的

7、近似值q．将整体误差估计借作局部误差估计，用以指导网格局部细分或局部提高逼近阶，在实践中常是可行的，但在理论上显然不能令人满意，因此仍希望得到后验局部误差估计．自然科学进展——国家重点实验室通讯第4卷文献_2_对二阶椭圆边值问题及K．网格给出了P=1时h型有限元方法的后验局部误差估计：l一ll≤c(∑。0ll+^∑。Ilrllj地)，(5)其中【】。c为某个一致剖分子区域，∑。表示对。内的单元求和，R=L一l，为剩余量，r为与近似解导数在单元边界上的跃度有关的线剩余．这一估计是局部的．更进一步，文献[2l对正方形K．网格上的双线性元(p=I)给出了一