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1、上海工程技术大学教育研究4/2010双曲函数及其在微分方程中的应用李路(上海工程技术大学基础教学学院上海201620)摘要由指数函数的奇偶分解,引出了双曲函数的定义及其简单微分性质,分析了双曲函数的两个微分方程中的应用:悬链线方程和自由落体运动。关键词双曲函数;悬链线;自由落体一、双曲函数的定义和性质(sinhx)=coshx;(coshx)=sinhx;22(tanhx)=seehx;(cothx)=-cschx.任意定义域为关于原点的对称区间的函数可以唯一的分解成一个奇函数和一个偶函二、悬链线问题数的和,分解表达式为f(x)+f(-x)f(x)
2、-f(-x)瑞士数学家雅各布伯努利(JacobBerf(x)=+.22noull,i16541705)把悬链线问题归结为:设偶函数部分奇函数部分x有一质量均匀的柔软绳索,两端固定,仅受重设函数F(X)=e,则有分解结果x-xx-x力的作用而下垂.试求绳索在平衡状态下所xe+ee-ee=+,呈曲线的方程.也许你怎么看都会想到抛物22偶函数部分奇函数部分线,但你只是重复了历史上数学家的错误而x函数E的偶函数部分称为的双曲余弦,函数已。雅各布伯努利一筹莫展,于1690年向xe的奇函数部分称为的双曲正弦。分别记作全世界征求答案.直到一年后,他的弟弟约翰x-xx-xe+ee-e伯
3、努利(JohannBernoull,i1667-1748)用coshx=,sinhx=22解微分方程的方法给出了解答,求出的曲线类似的,可定义正是双曲余弦.x-x[1]sinhxe-e对悬链线建立坐标系如图1所示,使双曲正切函数tanhx==x-x;coshxe+e绳索的最低点A在y轴上。设所求曲线的方x-xcoshxe+e程为y=f(x),单位长度绳索的重量为,对双曲余切函数cothx==;x-xsinhxe-e绳索上弧段AM作受力分析.作用在该弧段12上有三个力:最低点处的沿水平切线方向的双曲正割函数sechx==;双曲x-xcoshxe+e张力,它是一个常量,大小为
4、H;点M处的沿12切线方向的张力,大小为T,与水平线成余割函数cothx==。x-xsinhxe-e角;第三个力是重力,铅直向下,大小为p=容易证明以下微分性质:s,s为弧段的长。16x2-1+p-p=ea,二式相减,解得1x-xp=ea-ea,2或1xx-y==ea-ea2图1悬链线受力分析ax-x积分并由y
5、x=0=a,得y=ea+ea.这2因为绳索处于平衡状态,故有就是所求曲线的方程,它正是双曲余弦函数。Tcos=H,Tsin=s莱布尼茨称此曲线为悬链线。两式相除,得1Htan=s,a=三、自由落体运动的分析a由于tan=y,上式即具有质量为
6、m的物体从静止做自由落dy1=s,体运动,并受到与速度平方成正比的空气阻dxa22力,那么该物体受力为mg-kv,(为常数),dy1ds为消去s,上式两端对x求导,得2=。则由牛顿第二定律F=ma,有该物体下落后dxadxdv22的速度满足微分方程m=mg-kv,可以dsdydt由弧微分公式,可得=1+,代dxdx验证该微分方程的解为[2]入上式,得mggk22v=tanhtdy1dykm=1+.2dxadxmg如果取原点O到点A的距离为定值a,物体下落的极限速度为limv=limtanhttk则初始条件为y
7、x=0=a,y
8、x=0=0问题化归gkmg为以下的初值问
9、题(t)。mk22dy1dy=1+取m=60,g=9.8下落速度的图像为2dxadxy
10、x=0=a,y
11、x=0=0,其中的微分方程属于不显含y的可降阶的二2dy阶微分方程。令y=p,则p(0)=0,且=2dx21dy121+化为p=1+p,积分得adxa2x图2极限速度ln(p+1+p)=+C,a由p(0)=0求得C1=0,代入上式,得p+四、小结x2-1+p=ea,取倒数得17双曲函数有非常广泛的应用,在描述弹版.上海:高等教育出版社2007.[2]MauriceWeir.ThomasCallculus(tenthedition)[M].性固体中的波的运动,散
12、热片中的温度分布叶其孝,王耀东,唐兢,译.上海:高等教育出版等问题都可以用双曲函数来解决,反双曲函社,2003.数在积分学中也有更多的应用。参考文献[1]同济大学应用数学系.高等数学(上、下册)[M].6(上接第12页)言使用的准确性;而从记忆角度来看,多听可的重要环节。以增强记忆,提高储存写作信息的效率。以听促写是一种注重记忆效果的方法,因参考文献此训练中要注意:选材既要地道又要实用;训练既要有指导又要有计划,尽量科学地发[1]桂诗春.新编心理语言学[M].上海:上海外
