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1、工程数学EngineeringMathematics第三章线性方程组的数值解法•设有线性方程组Ax=b，其中⎛a11a12La1n⎞⎡x1⎤⎡b1⎤⎜⎟⎢⎥⎢⎥⎜a21a22La2n⎟⎢x2⎥⎢b2⎥A=为非奇异阵，x=b=⎜LLOL⎟⎢M⎥⎢M⎥⎜⎜⎟⎟⎢⎥⎢⎥aaLa⎣xn⎦⎣bn⎦⎝n1n2nn⎠线性方程组的数值解法一般有两类：直接法与迭代法–直接法–就是经过有限步算术运算，可求得方程组精确解的方法(若计算过程中没有舍入误差)。–但实际计算中由于舍入误差的存在和影响，这种方法也只能求得线性方程组的近似解。–这类算法中最基本的是高斯消元法及其某些变形。–这类方法是
2、解低阶稠密矩阵方程组的有效方法，近十几年来直接法在求解具有较大型稀疏矩阵方程组方面取得了较大进展。–迭代法–迭代法是用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法。–迭代法具有需要计算机的存贮单元较少、程序设计简单、原始系数矩阵在计算过程中始终不变等优点，但存在收敛性及收敛速度问题。–迭代法是解大型稀疏矩阵方程组(尤其是由微分方程离散后得到的大型方程组)的重要方法。线性方程组的迭代求解方法3.1几个常用的迭代方法3.2迭代法的收敛性与误差估计3.3方程组的性态与条件数3.1几个常用的迭代方法一、简单迭代法－－Jacobi迭代法二、Gauss-Seidel迭代法三、松驰
3、迭代法－－SOR迭代法1.Jacobi1.Jacobi迭代法迭代法设n阶线性方程组Ax=b或⎧ax+ax+L+ax=b1111221nn1⎪⎪a21x1+a22x2+L+a2nxn=b2(3.1)⎨⎪LL⎪ax+ax+L+ax=b⎩n11n22nnnn其中TTA=(a),x=(x,x,L,x),b=(b,b,L,b)ijn×n12n12n假设aii≠0，令b=−a/a,i≠jijijiif=b/a,i=1,2,L,niiii则原方程组(3.1)可改写为：⎧x=bx+bx+L+bx+f11221331nn1⎪⎪x2=b21x1+b23x3+L+b2nxn+f2(3.2)
4、⎨⎪LL⎪x=bx+bx+bx+L+bx+f⎩nn11n22n33nn−1n−1n记⎛0b12b13Lb1n⎞⎜⎟⎛a11⎞⎛f1⎞⎜b210b23Lb2n⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜a22⎟⎜f2⎟G=bb0LbD=f=⎜31323n⎟⎜⎟⎜⎟OM⎜LO⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝ann⎠⎝fn⎠bbbL0⎝n1n2n3⎠则有：GD−1DAID−1AfD−1b=(−)=−,=方程(3.2)可表示为：x=Gx+f(0)任取初始向量x,得到(1)(0)x=Gx+f(2)(1)x=Gx+f......(k+1)(k)x=Gx+f（k=0,1,2，...）(k)若向量序列{x}是收敛的(k
5、)*即limx=xk→∞(k)*或lim
6、
7、x−x
8、
9、=0k→∞**则x=Gx+f*即x为方程组x=Gx+f的解，同时也是Ax=b的解。此时，迭代公式是收敛的，G称为Jacobi迭代矩阵，上述计算过程就称为简单迭代法或Jacobi迭代法。定理1:当
10、
11、G
12、
13、<1时，Jacobi迭代法收敛。例1试用Jacobi迭代法解线性方程组⎡10−2−1⎤⎡x⎤⎡3⎤1⎢⎥⎢⎥⎢⎥−210−1x=15⎢⎥⎢2⎥⎢⎥⎢⎣−1−25⎥⎦⎢⎣x3⎥⎦⎢⎣10⎥⎦解：因为迭代矩阵为⎡21⎤⎢0⎥1010⎢⎥21G=⎢0⎥J⎢1010⎥⎢12⎥⎢0⎥⎣55⎦原方程改写为⎡x1⎤⎡00.20.
14、1⎤⎡x1⎤⎡0.3⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢x2⎥=⎢0.200.1⎥⎢x2⎥+⎢1.5⎥⎢⎣x3⎥⎦⎢⎣0.20.40⎥⎦⎢⎣x3⎥⎦⎢⎣2⎥⎦其迭代格式⎧(k+1)(k)(k)x1=0.2x2+0.1x3+0.3⎪(k+1)(k)(k)⎨x2=0.2x1+0.1x3+1.5k=0,1,...⎪(k+1)(k)(k)⎩x3=0.2x1+0.1x2+2(0)T取x=(0,0,0)迭代到第11次有(11)Tx=(1.0000,2.0000,3.0000)Jacobi迭代法的算法1、输入a(i,j=1,2,...,n),b(i=1,2,...,n),ε;iji2、输入初始向量
15、x(i=1,2,...,n);in3、计算yi=(bi−∑aijxj)/aii(i=1,2,...,n);j=1,j≠i4、如果max
16、y−x
17、≤ε输出y(i=1,2,...,n),停机；iii1≤i≤n5、x=y(i=1,2,...,n),返回3。ii算法的缺点：收敛速度慢。2.Gauss-Seidel迭代法对Jacobi迭代法进行修正(0)(0)(0)设初值x,x,...,x12n(1)第1步由迭代公式解得x；1(1)(0)(0)(1)第2步由x,x,...,x代入迭代公式得x；12n2(1)(1)(0)(0)(1)第3步同理由x,x,x,...
