第1章 随机过程预备知识(2)

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1、随机过程学习要求•不仅是掌握知识，更重要的是掌握思想•学会把抽象的概率和实际模型结合起来2012-9-202学习重点1.用随机变量表示事件及其分解——基本理论2.全概率公式——基本技巧3.数学期望和条件数学期望——基本概念2012-9-2031.2随机变量•设(,F,P)为概率空间，•映射X：R，ωX（ω）满足•对任意aR，{ω:X(ω)a}F，•则称X(ω)是随机变量，简记X。•对xR，称F(x)=P{ω:X(ω)x}为随机变量X的累积分布函数，简称分布函数，或F(x)=P（Xx

2、）=P（X[-∞，x]）2012-9-204•F(x)=P（Xx）=P（X[-∞，x]）•分布函数的性质：（1）单调性：若x

3、a)2012-9-206例投掷两枚均匀硬币试验，={正正，正反，反正，反反}F={，{正正},{反反},{正反，反正},{正正，反反}，{正反，反正，反反}，{正正，正反，反正}，}F为域（-代数），（，F）为可测空间P{}=0，P{}=1，P{正正}=P{正反}=P{反正}=P{反反}=1/4。(,F,P)为概率空间。考虑正面出现的次数？2012-9-207正面出现的次数用X表示，则X是一个取值于0,1,2的随机变量，分别具有概率：P（X=0）=P（{反反}）=1/4,P（X=1）

4、=P（{正反，反正}）=2/4,P（X=2）=P（{正正}）=1/4,并且有：P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=12012-9-208随机变量：离散型，连续型•离散型:最多取可数个可能值的随机变量。•离散型随机变量X的概率分布用p=P(X=x)kk•分布律（列）描述，称p为概率质量函数。k•分布函数：F(x)pkxxk•常见离散型随机变量X及其分布律2012-9-209离散型随机变量(1)伯努利随机变量（0-1分布，两点分布）P(X=1)=p，P(X=0)=q，0

5、)二项随机变量（二项分布）kknkP(X=k)=，Cnpq00，k=0,1,2,(4)几何随机变量（几何分布）k1P(X=k)=，pq0

6、性质P()(xBfxx)dB•函数f(x)称为随机变量X的概率密度函数12•连续型随机变量X的分布函数F(x)与概率密度函数f(x)的关系xFxPX(){(,)}xftt()d•常见连续型随机变量X及其概率密度(1)均匀分布1,axbf(x)ba0,其它13(2)正态分布2(x)12f(x)e22(3)指数分布xe,x0f(x)0,x0014随机变量的数字特征•数学期望设随机变量X的分布函数为F(x)，若xdF(x)

7、则称EXxdF(x)为X的数学期望（均值）•方差：设X是随机变量，若EX2<，则称DX=E[(X-EX)2]为X的方差（集中分散程度）15数学期望•对离散型随机变量X，分布律P(X=x)=p，k=1,2,kk数学期望EXxkpkk1•对连续型随机变量X，概率密度f(x)的数学期望EXxf(x)dx16离散型随机变量-数学期望(1)伯努利随机变量（0-1分布，两点分布）P(X=1)=p，P(X=0)=q，0

8、量（二项分布）kknkP(X=k)=，Cnpq00，k=0,1,2,(4)几何随机变量（几何分布）k1EX=1/pP(X=k)=，pqDX=(1-p)/p20