电磁学_ch05 静磁学

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1、電磁學導讀Chap.5靜磁學Chap.5靜磁學§5-1：TheLorentzForceLaw（勞倫茲力定律）(1)在磁場Β中的運動電荷Q所受的磁力公式：F=Q(v×B)mag(2)在磁場Β中的電流所受的磁力公式：dl(a)線電流：F=(v×B)dq=(×B)dq=Idl×Bmag∫∫∫dt(b)面電流：F=(v×B)dq=(v×B)σda=(K×B)damag∫∫∫dI式中K=σv為面電流密度（surfacecurrentdensity），其大小K≡為單位垂直寬度dl⊥的電流，如圖5-1所示。（圖5-1）（圖5-2）(c)體電流：

2、F=(v×B)dq=(v×B)ρdτ=(J×B)dτmag∫∫∫dI式中J=ρv為體電流密度（volumecurrentdensity），其大小J≡為單位da⊥垂直面積的電流，如圖5-2所示。<討論>：○1磁力不作功……..（因dW=F⋅dl=Q(v×B)⋅vdt=0）mag∂ρ○2電荷守恆的連續方程式（continuityequation）為∇⋅J=−∂td∂ρ解答：因∫J⋅da=∫(∇⋅J)dτ=−∫ρdτ=−∫()dτdt∂tsvvv∂ρ故得∇⋅J=−∂t<例題5.4>：(a)已知一電流I均勻分佈在半徑a的圓橫截面導線上，求

3、體電流密度J？(b)若在該導線內的電流密度與軸心的距離s成正比，即J=ks（k為常數），則導線內的總電流為何？2I解答：(a)因垂直面積a=πa，故J=…………………………………答案⊥2πa(b)因dI=Jda=ks(sdsdϕ)⊥aa2π2223故I=∫∫ksdsdφ=2πk∫sds=πka…………………………答案0003-59-東海大學物理系dP<問題5.7>：對電荷與電流位在體積υ內的組態而言，試證明∫Jdτ=，式中P為總偶極矩dtυ（totaldipolemoment）。解答：由§3-4得偶極矩P=∫ρrdτ，因此vdPd

4、∂ρ=∫ρrdτ=∫()rdτ=−∫(∇⋅J)rdτ……………………○1dtdt∂tvvv但因∇⋅(xJ)=x(∇⋅J)+J⋅∇x=x(∇⋅J)+J⋅xˆ=x(∇⋅J)+Jx所以(∇⋅J)xdτ=∇⋅(xJ)dτ−Jdτ∫∫∫xvvv=xJ⋅da−Jdτ∫∫xsυ=−Jdτ…………（因J完全位在υ內，而在面s上為零，所以第∫xv一項的面積分值為零。）因此，自上式可得∫∫(∇⋅J)rdτ=−Jdτ…………………………………….○2vvdP故自○1及○2式，得証∫Jdτ=dtυ§5-2：TheBiot-SavartLaw（必歐-沙伐定

5、律）μ0Idl′×rˆ(1)線電流的磁場B(r)=∫2……（見圖5-3）4πrμ0K(r′)×rˆ(2)面電流的磁場B(r)=∫2da′4πrμ0J(r′)×rˆ(3)體電流的磁場B(r)=∫2dτ′（圖5-3）4πr−7N上式中的μ=4π×10為自由空間（freespace）的導磁係數（permeability，或稱磁導率），02AN4而磁場B的單位為特士拉（Tesla或T）：1T=1=10gaussA⋅m<討論>：○1以上公式皆為穩定電流（steadycurrent）所產生的固定磁場（不隨時間變化）。∂ρ○2因在導線中的穩定電

6、流值固定，不會有電荷堆積現象，即=0，所以電荷守恆∂t的連續方程式變為∇⋅J=0。§5-3：TheDivergenceandCurlofB（B的散度與旋度）(1)安培定律（Ampere`sLaw）的積分式及微分式：(a)積分式：B⋅dl=μI……（式中I為積分路徑所圍的淨電流）∫0encenc-60-電磁學導讀Chap.5靜磁學解答：○1若積分路徑為半徑S的圓形路徑，如圖5-4，則μIμI00B⋅dl=dl=dl=μI∫∫∫02πs2πs○2若利用圓柱座標(s,ϕ,z)，且電流沿+z軸，則因μI（圖5-4）0B=ϕˆ2πs故若積分

7、路徑為dl=sˆds+ϕˆ(sdϕ)+zˆdz，則得證μIμI2π00B⋅dl=dϕ=dϕ=μI∫∫∫02π2π0(b)微分式：∇×B=μJ0解答：利用司托克士定理（Stokes’theorem），安培定律的積分式B⋅dl=μI，可改寫為∫0enc(∇×B)⋅da=μJ⋅da∫∫0自上式，可得∇×B=μJ0＜討論＞：以上推論因受限於長直電流導線，所以該推論有嚴重的瑕疵。下一單元我們將直接由必歐-沙伐定律，推導磁場B的散度及旋度。(2)磁場B的散度（Divergence）及旋度（Curl）：(a)散度∇⋅B=0μ0J(r′)×rˆ解

8、答：利用B(r)=∫2dτ′，其座標位置4πr如圖5-5，r=(x−x′)xˆ+(y−y′)yˆ+(z−z′)zˆ，dτ′=dx′dy′dz′。μ0rˆ可得∇⋅B=∫∇⋅(J×2)dτ′4πr（圖5-5）μ0rˆrˆ=∫[2⋅(∇×J)−J⋅(∇×